反函数的性质汇总

一、前言

在《求解反函数的导数，你真的会吗？（首先需要知道什么是反函数）》这篇文章中，我们掌握了什么是反函数，以及反函数求导的方法。

那么，反函数都有着怎样的性质呢？在这篇文章中，就让我们一探究竟。

二、正文

1. 反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 $x$

例如，若互为反函数的 $y_1(x)=x^3$, $y_2(x)=\sqrt[3]{x}$, 则：

$$y_1[y_2(x)]=[y_2(x){]}^3=[\sqrt[3]{x}{]}^3=x^1=x$$

Note

相关习题：[01] [02]

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2. 函数的导数等于其对应的反函数导数的倒数

即：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$$

3. 大部分偶函数不存在反函数，奇函数也不一定都有反函数。如果一个奇函数存在反函数，则它的反函数也一定是奇函数

这是因为反函数要求定义域和值域中的元素是一一对应的。

4. 反函数若存在则一定是唯一的

一个函数有可能存在 $0$ 个或 $1$ 个反函数。

5. $y=x$ 的反函数还是 $y=x$

这是因为函数与其反函数的图像都是关于 $y=x$ 对称的。