计算特征值的方法：确保每步都对，坚持计算到底

一、题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形怎么写？

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二、解析

$$
f=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2} \Rightarrow
$$

$$
f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+x_{1}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}- \ 4\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{2} x_{3}\right) \Rightarrow
$$

$$
f=2 x_{1}^{2}-3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}
$$

于是：

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right] \Rightarrow|\lambda E-A|=0
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda+3 & -4 \\ -1 & -4 & \lambda+3\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda+7 & -\lambda-7 \\ -4 \lambda & 0 & \lambda+7\end{array}\right|=0
$$

$$
(\lambda+7)^{2}(\lambda-2)+(\lambda+7)(7-4 \lambda)+(\lambda+7)(7-4 \lambda)=0
$$

$$
(\lambda+7)[(\lambda+7)(\lambda-2)+2(7-4 \lambda)]=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\lambda_{1}=-7} \Rightarrow
$$

继续算（虽然下面的式子一眼看上去很复杂，但是我们只要过程正确就能得到全部特征值，不过，考研数学题中的特征值一般都是整数，如果计算出来小数、分数、甚至虚数，一般就是算错了）：

$$
(\lambda+7)(\lambda-2)+2(7-4 \lambda)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+5 \lambda \Rightarrow-14+14-8 \lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+5 \lambda-8 \lambda=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}-3 \lambda=0 \Rightarrow \lambda(\lambda-3)=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\lambda_{2}=0, \quad \lambda_{3}=3
}
$$

综上可知，该二次型的规范型为【标准型参差不齐（系数为特征值），规范型整整齐齐（系数为特征值的正负）】：

$$
y_{1}^{2}-y_{2}^{2}
$$

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