这道题其实是一个条件微分方程，而且隐含着两个条件

一、题目

已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$. 同时，$y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$, 则曲线 $y(x)$ 的方程是多少？

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二、解析

计算特征方程的特征根：

$$
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=e^{3 x} \Rightarrow \lambda^{2}-6 \lambda+9=0
$$

$$
\lambda=\frac{6 \pm \sqrt{36-36}}{2} \Rightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=3
$$

于是，该微分方程的“齐通”可设为：

$$
y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{3 x}
$$

该微分方程的“非齐特”可设为：

$$
y^{*}=x^{2} A e^{3 x}
$$

接着，反代回去计算非齐特中的未知量 $A$:

$$
\left(y^{*}\right)^{\prime}=A \cdot 2 x e^{3 x}+3 A \cdot x^{2} e^{3 x} \Rightarrow
$$

$$
\left(y^{*}\right)^{\prime}=\left(2 A x+3 A x^{2}\right) e^{3 x} \Rightarrow
$$

$$
\left(y^{*}\right)^{\prime \prime}=\left[2 A+6 A x+3\left(2 A x+3 A x^{2}\right)\right] e^{3 x}
$$

反代：

$$
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=e^{3 x} \Rightarrow
$$

$$
2 A+6 A x+6 A x+9 A x^{2}-12 A x-18 A x^{2}
$$

$$
+9 A x^{2}=1 \Rightarrow 2 A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}
$$

于是，该微分方程的通解为：

$$
Y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{3 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{3 x}
$$

接着：

$$
Y(0)=0 \Rightarrow C_{1}=0 \Rightarrow
$$

$$
Y=\left(C_{2} x\right) e^{3 x}+\frac{1}{2} x^{2} e^{3 x}
$$

又：

$$
2 x-y-5=0 \Rightarrow
$$

$$
y=2 x-5 \Rightarrow y^{\prime}(0)=2 \Rightarrow
$$

$$
Y^{\prime}=\left[\left(C_{2} x+\frac{1}{2} x^{2}\right) e^{3 x}\right]^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
Y^{\prime}=\left[C_{2}+x+3\left(C_{2} x+\frac{1}{2} x^{2}\right)\right] e^{3 x} \Rightarrow
$$

$$
Y^{\prime}(0)=2 \Rightarrow C_{2}=2.
$$

综上可知，微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ 的条件通解，即 $y(x)$ 的表达式为：

$$
Y=\left(2 x+\frac{1}{2} x^{2}\right) e^{3 x}
$$

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