这道题其实是一个条件微分方程，而且隐含着两个条件

一、题目

已知曲线 $y = y (x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x - y - 5 = 0$ . 同时， $y (x)$ 满足微分方程 $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x}$ , 则曲线 $y (x)$ 的方程是多少？

难度评级：

计算特征方程的特征根：

$y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x} \Rightarrow λ^{2} - 6 λ + 9 = 0$

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} \Rightarrow λ_{1} = λ_{2} = 3$

于是，该微分方程的“齐通”可设为：

$y = (C_{1} + C_{2} x) e^{3 x}$

该微分方程的“非齐特”可设为：

$y^{*} = x^{2} A e^{3 x}$

接着，反代回去计算非齐特中的未知量 $A$ :

${(y^{*})}^{'} = A \cdot 2 x e^{3 x} + 3 A \cdot x^{2} e^{3 x} \Rightarrow$

${(y^{*})}^{'} = (2 A x + 3 A x^{2}) e^{3 x} \Rightarrow$

${(y^{*})}^{''} = [2 A + 6 A x + 3 (2 A x + 3 A x^{2})] e^{3 x}$

反代：

$y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x} \Rightarrow$

$2 A + 6 A x + 6 A x + 9 A x^{2} - 12 A x - 18 A x^{2}$

$+ 9 A x^{2} = 1 \Rightarrow 2 A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

于是，该微分方程的通解为：

$Y = (C_{1} + C_{2} x) e^{3 x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{3 x}$

接着：

$Y (0) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0 \Rightarrow$

$Y = (C_{2} x) e^{3 x} + \frac{1}{2} x^{2} e^{3 x}$

又：

$2 x - y - 5 = 0 \Rightarrow$

$y = 2 x - 5 \Rightarrow y^{'} (0) = 2 \Rightarrow$

$Y^{'} = {[(C_{2} x + \frac{1}{2} x^{2}) e^{3 x}]}^{'} \Rightarrow$

$Y^{'} = [C_{2} + x + 3 (C_{2} x + \frac{1}{2} x^{2})] e^{3 x} \Rightarrow$

$Y^{'} (0) = 2 \Rightarrow C_{2} = 2.$

综上可知，微分方程 $y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = e^{3 x}$ 的条件通解，即 $y (x)$ 的表达式为：

$Y = (2 x + \frac{1}{2} x^{2}) e^{3 x}$

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