高等数学易错点：复合函数求导公式很简单，但在实际运算过程中极易被忽略

一、题目

函数 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{2} \arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$ 在 $[1,+\infty)$ 区间内的增减性如何？

难度评级：

二、解析

已知：

$$
(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}
$$

$$
(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

于是：

$$
f^{\prime}(x)=\arctan x+\frac{1}{2} \arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}} \cdot \textcolor{red}{\frac{2\left(1+x^{2}\right)-4 x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1+x^{2}}{\sqrt{\left(\textcolor{orange}{1-x^{2}}\right)^{2}}} \cdot \frac{2\left(1-x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{2\left(\textcolor{orange}{x^{2}-1}\right)} \cdot \frac{2\left(1-x^{2}\right)}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}=0
$$

综上可知，$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 区间内恒为常数。

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