高等数学易错点：复合函数求导公式很简单，但在实际运算过程中极易被忽略

一、题目

函数 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{2}\arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 区间内的增减性如何？

难度评级：

二、解析

已知：

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

于是：

$$f^{\prime }(x)=\arctan x+\frac{1}{2}\arcsin \frac{2x}{1+x^2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4x^2}{{(1+x^2)}^2}}}\cdot \frac{2(1+x^2)-4x^2}{{(1+x^2)}^2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1+x^2}{\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^2}}\cdot \frac{2(1-x^2)}{{(1+x^2)}^2}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{2\left(x^2-1\right)}\cdot \frac{2(1-x^2)}{1+x^2}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$$

综上可知，$f(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 区间内恒为常数。

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