当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性

一、题目

已知，当 $0 ⩽ x ⩽ π$ 时 $f (x) = x$ , 且对一切 $x$ 都有 $f (x) = f (x - π) + \sin x$ , 则 $I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x = ?$

难度评级：

二、解析

解法一：将积分的取值区间一步步移动到已知区间上

由题可知：

$I = \int_{π}^{3 π} f (x) d x =$

$\int_{π}^{3 π} [f (x - π) + \sin x] d x =$

令：

$t = x - π \Rightarrow x = t + π \Rightarrow d x = d t \Rightarrow$

$t \in (0, 2 π) .$

则：

$I = \int_{0}^{2 π} [f (t) + \sin (t + π)] d t \Rightarrow$

$I = \int_{0}^{2 π} f (t) d t + \int_{0}^{2 π} \sin (t + π) d t \Rightarrow$

$\sin (t + π) 的周期为 2 π \Rightarrow \int_{0}^{2 π} \sin (t + π) d t = 0$

于是：

$I = \int_{0}^{2 π} f (t) d t + 0 = \int_{0}^{2 π} f (t) d t$

即：

$\int_{0}^{2 π} f (x) d x = \int_{π}^{3 π} f (x) d x$

因此：

$I = \int_{0}^{2 π} f (x) d x = \int_{0}^{π} f (x) d x + \int_{π}^{2 π} f (x) d x =$

$\int_{0}^{π} f (x) d x + \int_{π}^{2 π} [f (x - π) + \sin x] d x =$

$\int_{0}^{π} x d x + \int_{π}^{2 π} f (x - π) d x + \int_{π}^{2 π} \sin x d x =$

$\frac{1}{2} π^{2} + \int_{π}^{2 π} f (x - π) d (x - π) - 2 =$

$\frac{1}{2} π^{2} + \int_{0}^{π} f (x) d x - 2 = π^{2} - 2$

解法二：题目所给的式子其实是一个分段函数

当：

$x \in (π, 2 π) \Rightarrow (x - π) \in (0, π)$

有：

$f (x) = f (x - π) + \sin x \Rightarrow$

$f (x) = x - π + \sin x$

当：

$x \in (2 π, 3 π) \Rightarrow (x - π) \in (π, 2 π)$

$(x - 2 π) \in (0, π) \Rightarrow f (x - 2 π) = x - 2 π$

有：

$f (x - π) = f (x - 2 π) + \sin (x - π) \Rightarrow$

$f (x - π) = f (x - 2 π) - \sin x \Rightarrow$

$f (x) = f (x - π) + \sin x \Rightarrow$

$f (x) = x - 2 π - \sin x + \sin x = x - 2 π$

于是：

$f (x) = {\begin{cases} x - π + \sin x, & d x \in (0, 2 π) \\ x - 2 π, & d x \in (2 π, 3 π) . \end{cases}$

因此：

$\int_{π}^{3 π} f (x) d x = \int_{π}^{2 π} f (x) d x + \int_{2 π}^{3 π} f (x) d x =$

$\int_{π}^{2 π} (x - π + \sin x) d x + \int_{2 π}^{3 π} (x - 2 π) d x =$

$\frac{1}{2} \cdot 4 π^{2} - \frac{1}{2} π^{2} - π (2 π - π) - 2 +$

$\frac{1}{2} \cdot 9 π^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 π^{2} - 2 π (3 π - 2 π) =$

$\frac{- 1}{2} π^{2} - π^{2} - 2 + \frac{9}{2} π^{2} - 2 π^{2} =$

$4 π^{2} - 3 π^{2} - 2 = π^{2} - 2.$

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