这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的

一、题目

$$I=\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=?$$

其中 $a<x<b$.

难度评级：

二、解析

解法一：凑微分

已知：

$$I=\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$$

又：

$${[(x-a{)}^{\frac{1}{2}}]}^{\prime }=\frac{1}{2}(x-a{)}^{\frac{-1}{2}}$$

于是：

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{x-a}\cdot \sqrt{b-x}}\mathrm{d}x=$$

$$2\int \frac{1}{\sqrt{b-x}}\mathrm{d}(\sqrt{x-a})=$$

接着，我们需要在分母中也凑出来 “$x–a$”:

$$2\int \frac{1}{\sqrt{(b-a)-(x-a)}}\mathrm{d}(\sqrt{x-a})=$$

$$2\int \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{b-a}{)}^2-(\sqrt{x-a}{)}^2}}\mathrm{d}(\sqrt{x-a})=$$

$$2\int \frac{1}{\sqrt{b-a}\cdot \sqrt{1-{\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)}^2}}\mathrm{d}(\sqrt{x-a})=$$

Tips:

这里需要注意，$b-a>0$, 且 $b-a$ 是一个常数。

$$2\int \frac{1}{\sqrt{1-{\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)}^2}}\mathrm{d}\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)=$$

$$2\arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)+C$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法二：配方法

首先对分母进行配方：

$$(x-a)(b-x)=$$

$$-x^2+(a+b)x-ab=$$

$$-[x^2-(a+b)x+ab]=$$

$$-[{(x-\frac{a+b}{2})}^2-{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2+ab]=$$

$$-[{(x-\frac{a+b}{2})}^2-\frac{a^2+b^2+2ab-4ab}{4}]=$$

$$-[{(x-\frac{a+b}{2})}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2]=$$

$${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2-{(x-\frac{a+b}{2})}^2$$

于是：

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\mathrm{d}x=$$

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2-{(x-\frac{a+b}{2})}^2}}\mathrm{d}x=$$

$$I=\int \frac{1}{\frac{b-a}{2}\sqrt{1-{\left(\frac{x-\frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}\right)}^2}}\mathrm{d}x=$$

$$I=\int \frac{\frac{2}{b-a}}{\sqrt{1-{\left[\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right]}^2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

又：

$${\left[\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right]}_x^{\prime }={[\frac{1}{b-a}(2x-a-b)]}_x^{\prime }=$$

$$\frac{2}{b-a}\Rightarrow$$

于是：

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{1-{\left[\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right]}^2}}\mathrm{d}\left[\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right]=$$

$$\arcsin \left[\frac{2x-(a+b)}{b-a}\right]+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法三：整体代换

Tips:

对于含有根号的式子而言，整体代换法的主要目的就是把含有根号的部分用一个变量整体代换，使得根号可以在我们的计算过程中消失。

$$I=\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\mathrm{d}x=$$

$$I=\int \frac{1}{(x-a)}\cdot \sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

令：

$$t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$$

则：

$$t^2=\frac{x-a}{b-x}\Rightarrow$$

$$t^2(b-x)=x-a\Rightarrow t^{2}b-x{t}^2=x-a\Rightarrow$$

$$t^{2}b+a=x+x{t}^2\Rightarrow x=\frac{t^{2}b+a}{1+t^2}$$

又：

$$x-a=\frac{t^{2}b+a-a(1+t^2)}{1+t^2}\Rightarrow$$

$$x-a=\frac{t^{2}b-t^{2}a}{1+t^2}\Rightarrow$$

$$x-a=\frac{t^2(b-a)}{1+t^2}$$

且：

$$\mathrm{d}x=\frac{2bt(1+t^2)2t(t^{2}b+a)}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\frac{2bt+2b{t}^3-2b{t}^3-2at}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}x=\frac{2t(b-a)}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

于是：

$$I=\int \frac{t(1+t^2)}{t^2(b-a)}\cdot \frac{2t(b-a)}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{1+t^2}{t(b-a)}\cdot \frac{2t(b-a)}{{(1+t^2)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=\int \frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t=$$

$$2\arcsin t+C=2\arcsin \sqrt{\frac{x-a}{b-x}}+C$$

其中，$C$ 为任意常数。

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