带有三角函数的积分不容易计算怎么办?尝试把三角函数放到微分符号 d 里面,这样就可以用整体代换法去掉三角函数了 一、题目 I=∫−π2π2(1+x)cosx1+cos2x dx=? 难度评级: 二、解析 I=∫−π2π2(1+x)cosx1+cos2x dx⇒ I=∫−π2π2cosx+xcosx1+cos2x dx⇒ I=∫−π2π2cosx1+cos2x dx+∫−π2π2xcosx1+cos2x dx. 由于 ∫−π2π2xcosx1+cos2x dx 是奇函数,因此: ∫−π2π2xcosx1+cos2x dx=0 即: I=∫−π2π2cosx1+cos2x dx. 又: 1+cos2x+sin2x−sin2x=2−sin2x cosx=d(sinx) 即: I=∫−π2π2cosx1+cos2x dx= ∫−11d(sinx)2−sin2x= 令 x=sinx, 则: ∫−1112−x2 dx=2∫011(2+x)(2−x) dx 又: 1(2+x)(2−x)=[12+x+12−x]⋅122 于是: 2∫011(2+x)(2−x) dx= 12∫01[12+x+12−x] dx 12[ln(2+x)−ln(2−x)]|01= 12[ln(2+1)−ln(2−1)−ln(2)+ln(2)]= 12[ln(2+1)−ln(2−1)]= 12ln2+12−1=22⋅2ln(2+1)(2+1)(2+1)(2−1)= 22ln(2+1)21= 22ln(2+1)2=2ln(2+1). 考研数学思维导图 高等数学 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数 以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题 通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时,也可以尝试使用极坐标系求解 用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目 用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目 你会判断积分不等式的正负性吗? 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号 求解三角函数积分:能合并的先合并 一个看上去很难的积分题:某些隐函数其实是“假”的 集火攻击:多种方法解一道题 加加减减,凑凑拆拆:∫ sinxsinx+cosx dx “无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜 通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花? 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 三角函数 sin 与 cos 有理式积分的一般解题思路 解决三角函数定积分的组合拳:区间再现与点火公式 有根号又有平方的累次积分怎么求解?用极坐标系试一试吧! 存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分:∫ arcsinx+lnxx dx 1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法) 使用放缩法判断反常积分的敛散性:大缩小更缩,小散大更散 2011年考研数二第06题解析 复合函数求偏导:循环复用,逐渐化简 两种方法去根号:分子有理化或整体代换