带有三角函数的积分不容易计算怎么办?尝试把三角函数放到微分符号 d 里面,这样就可以用整体代换法去掉三角函数了

一、题目题目 - 荒原之梦

I=π2π2(1+x)cosx1+cos2x dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

I=π2π2(1+x)cosx1+cos2x dx

I=π2π2cosx+xcosx1+cos2x dx

I=π2π2cosx1+cos2x dx+π2π2xcosx1+cos2x dx.

由于 π2π2xcosx1+cos2x dx 是奇函数,因此:

π2π2xcosx1+cos2x dx=0

即:

I=π2π2cosx1+cos2x dx.

又:

1+cos2x+sin2xsin2x=2sin2x

cosx=d(sinx)

即:

I=π2π2cosx1+cos2x dx=

11d(sinx)2sin2x=

x=sinx, 则:

1112x2 dx=2011(2+x)(2x) dx

又:

1(2+x)(2x)=[12+x+12x]122

于是:

2011(2+x)(2x) dx=

1201[12+x+12x] dx

12[ln(2+x)ln(2x)]|01=

12[ln(2+1)ln(21)ln(2)+ln(2)]=

12[ln(2+1)ln(21)]=

12ln2+121=222ln(2+1)(2+1)(2+1)(21)=

22ln(2+1)21=

22ln(2+1)2=2ln(2+1).


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