正交变换下标准型的变量 $y^{2}$ 的系数就是二次型矩阵的特征值

一、题目

二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 在正交变换下的标准形为（）

难度评级：

二、解析

二次型矩阵为：

$$
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]
$$

接着，计算二次型矩阵的特征值：

$$
|\lambda E-A|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & -2 & -1 \\ -2 & \lambda-4 & -2 \\ -1 & -2 & \lambda-1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & -2 & -1 \\ 0 & \lambda & -2 \lambda \\ -1 & -2 & \lambda-1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & -\lambda \\ 0 & \lambda & -2 \lambda \\ -1 & -2 & \lambda-1\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -2 \lambda \\ -1 & -2 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda\left|\begin{array}{cc}\lambda & -2 \lambda \\ -2 & \lambda-2\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda\left|\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ -2 & \lambda-4\end{array}\right|=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}\left(\lambda-6\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}=6, \quad \lambda_{2}=0, \quad \lambda_{3}=0
$$

于是，该二次型在正交变换下的标准型为：

$$
6 y_{1}
$$

Tips:

标准型中的系数就是二次型矩阵的特征值，当解答时写出了正交矩阵 $Q$ 时，系数的次序就需要根据正交矩阵 $Q$ 确定，否则，就把非零特征值放前面。

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