正交变换下标准型的变量 $y^2$ 的系数就是二次型矩阵的特征值

一、题目

二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+4x_1{x}_2+2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$ 在正交变换下的标准形为（）

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二、解析

二次型矩阵为：

$$A=\left[\begin{array}{lll}1& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$$

接着，计算二次型矩阵的特征值：

$$|\lambda E-A|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& -1\\ -2& \lambda -4& -2\\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -2& -1\\ 0& \lambda & -2\lambda \\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -\lambda \\ 0& \lambda & -2\lambda \\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & -2\lambda \\ -1& -2& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\lambda \left|\begin{array}{cc}\lambda & -2\lambda \\ -2& \lambda -2\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\lambda \left|\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ -2& \lambda -4\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$${\lambda }^2(\lambda -6)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=6,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=0$$

于是，该二次型在正交变换下的标准型为：

$$6y_1$$

Tips:

标准型中的系数就是二次型矩阵的特征值，当解答时写出了正交矩阵 $Q$ 时，系数的次序就需要根据正交矩阵 $Q$ 确定，否则，就把非零特征值放前面。

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