你知道怎么由二次型式子写出对应的矩阵 A 吗

一、题目

已知二次型 ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$ $=$ $a{x}_1^2+2x_2^2+a{x}_3^2+6x_1{x}_2+2x_2{x}_3$ 的秩为 2 , 则 $a=?$

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二、解析

首先，由二次型我们可以写出对应的矩阵 $A$:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a& 3& 0\\ 3& 2& 1\\ 0& 1& a\end{array}\right]$$

由于，$r(A)=2<3$, 因此：

$$|A|=2a^2–9a–a=2a^2–10a\Rightarrow$$

$$|A|=a^2–5a=a(a-5)=0\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{ll}& a=0\\ & a=5\end{array}$$

按照一般做法，我们此时需要将 $a=0$ 和 $a=5$ 代入到 $A$ 中，以确定 $A$ 的秩是否为 $2$, 而不是 $1$ 或者 $0$, 但是，由于在 $A$ 中我们可以找到如下与 $a$ 无关的子式：

$$\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=3\ne 0$$

因此，$a=0$ 和 $a=5$ 一定可使 $A$ 的秩为 $2$.

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