实对称矩阵的性质汇总

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）总结了实对称矩阵在考研数学中的常用性质。

二、正文

实对称矩阵 $A$ 的常用性质如下：

1. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；

例如，$(1, 0)^{\top}$ 和 $(0, 1)^{\top}$ 就是正交的，则 $(1, 0) (0, 1)^{\top} = 0$.

2. $n$ 阶实对称矩阵一定可相似对角化，且对应的对角矩阵上的元素就是特征值；
3. 若实对称矩阵有 $k$ 重特征值 $\lambda$, 则必有 $k$ 个线性无关特征向量或者说 $r(\lambda E – A)= n – k$；
4. $A$ 的秩等于非零特征值的个数；
5. 若 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 有 $n$ 个特征值的（包括重根），如果 $r(A)<n$，则有 $n-r(A)$ 个为零的特征值；
6. 实对称矩阵的特征值均为实数，对应的特征向量均为实向量；
7. $A^{\top} = A$.

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