相似矩阵具有相同的秩

一、题目

已知 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=?$

难度评级：

二、解析

根据《相似矩阵的性质汇总》这篇文章可知，相似举着具有相同的秩，且当 $A$ 与 $B$ 相似的时候，$A + kE$ 和 $B+kE$ 也相似，即：

$$
r(A – E) + r(A + E) =
$$

$$
r(B – E) + r(B + E).
$$

又：

$$
B – E = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
B + E = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 2 & 2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

即：

$$
r(B – E) + r(B + E) = 2 + 2 = 4.
$$

于是：

$$
r(A – E) + r(A + E) = 2 + 2 = 4.
$$

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