相似矩阵具有相同的秩

一、题目

已知 $\mathit{A}\sim \mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right]$, 则 $r(\mathit{A}-\mathit{E})+r(\mathit{A}+\mathit{E})=?$

难度评级：

二、解析

根据《相似矩阵的性质汇总》这篇文章可知，相似举着具有相同的秩，且当 $A$ 与 $B$ 相似的时候，$A+kE$ 和 $B+kE$ 也相似，即：

$$r(A–E)+r(A+E)=$$

$$r(B–E)+r(B+E).$$

又：

$$B–E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right]$$

$$B+E=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

即：

$$r(B–E)+r(B+E)=2+2=4.$$

于是：

$$r(A–E)+r(A+E)=2+2=4.$$

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