齐次方程组经典例题：求基础解系

题目 01

齐次线性方程组 $\{\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2+3x_3+x_4& =0\\ 2x_1-x_2+x_3-3x_4& =0\\ x_1+x_3-x_4& =0\end{array}$ 的基础解系是（）

难度评级：

解析 01

先化简：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 2& -1& 1& -3\\ 1& 0& 1& -1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& -5& -5& -5\\ 0& -2& -2& -2\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{llll}1& 2& 3& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& -1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=0.$$

于是可知，该系数矩阵的秩为 $2$, 则其自由未知数为 $4-2=2$ 个，其中 $x_3$ 和 $x_4$ 为自由未知数，$x_1$ 和 $x_2$ 为非自由未知数：

$$x_3=1,x_4=0\Rightarrow x_2=-1,x_1=-1$$

$$x_3=0,x_4=1\Rightarrow x_2=-1,x_1=1$$

综上可知，该齐次线性方程组的基础解系为：

$$(-1,-1,1,0{)}^{\mathrm{\top }},(1,-1,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$$