矩阵的运算千万不能直接套用数字的运算规律

一、题目

已知 $(\mathit{A}+\mathit{E}{)}^3=(\mathit{A}-2\mathit{E}{)}^3$, 则 ${\mathit{A}}^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

首先：

$$(A+E{)}^3=(A-2E{)}^3\nRightarrow A+E=A-2E$$

因此，我们只能按部就班的展开：

$$(A+E{)}^3=(A+E{)}^2(A+E)=$$

$$(A^2+E+2A)(A+E)=A^3+A^2+A+E+2A^2+2A=$$

$$A^3+3A^2+3A+E$$

且：

$$(A-2E{)}^3=(A-2E{)}^2(A-2E)=$$

$$(A^2+4E-4A)(A-2E)=A^3-2A^2+4A-8E-4A^2+8A=$$

$$A^3-6A^2+12A-8E$$

$$(A-2E{)}^3=(A-2E{)}^2(A-2E)=$$

$$(A^2+4E-4A)(A-2E)=A^3-2A^2+4A-8E-4A^2+8A=$$

$$A^3-6A^2+12A-8E$$

于是：

$$A^3+3A^2+3A+E=A^3-6A^2+12A-8E\Rightarrow$$

$$9A^2-9A=-9E\Rightarrow A-A^2=E\Rightarrow A(E-A)=E$$

综上可知：

$$A^{-1}=E-A$$

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