逆矩阵的转置矩阵有啥性质你知道吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})\left[\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}\right)^{-1} \boldsymbol{A}\right]=?$

难度评级：

关于可逆矩阵的性质，可以参考《可逆矩阵的性质汇总》

二、解析

由题可得：

$$
A B=B A=E
$$

$$
(A B)^{\top}=E^{\top}=E \Rightarrow B^{\top} A^{\top}=A^{\top} B^{\top}=E
$$

于是：

$$
(E+B A)\left[E-B\left(E+A^{\top} B^{\top}\right)^{-1} A\right]=
$$

$$
(E+E)\left[E-B(E+E)^{-1} A\right]=
$$

$$
(E+E)\left[E-B(2E)^{-1} A\right]=
$$

$$
2 E\left[E-\frac{1}{2} B A\right]=
$$

$$
2 E\left[E-\frac{1}{2} E\right]=E.
$$

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