逆矩阵的转置矩阵有啥性质你知道吗？

一、题目

已知 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A B = E$ , 则 $(E + B A) [E - B {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} A] = ?$

难度评级：

关于可逆矩阵的性质，可以参考《可逆矩阵的性质汇总》

由题可得：

$A B = B A = E$

$(A B)^{⊤} = E^{⊤} = E \Rightarrow B^{⊤} A^{⊤} = A^{⊤} B^{⊤} = E$

于是：

$(E + B A) [E - B {(E + A^{⊤} B^{⊤})}^{- 1} A] =$

$(E + E) [E - B (E + E)^{- 1} A] =$

$(E + E) [E - B (2 E)^{- 1} A] =$

$2 E [E - \frac{1}{2} B A] =$

$2 E [E - \frac{1}{2} E] = E .$

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