这有一道求解无穷小阶数的经典题目

一、题目

当 $x\to 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？

A. $(1+x{)}^{x^2}-1$

B. $e^{x^4-2x}-1$

C. ${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t$

D. $\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$

难度评级：

二、解析

A 选项：3 阶无穷小

根据《常用的等价无穷小公式列表》可知：

$$[1+\beta (x){]}^{\alpha (x)}-1\sim \alpha (x)\beta (x)$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{x^2}-1\Rightarrow$$

$$(1+x{)}^{x^2}-1\sim x\cdot x^2=x^3$$

因此可知，$(1+x{)}^{x^2}-1$ 是三阶无穷小。

B 选项：1 阶无穷小

首先：

$$e^{x^4-2x}-1\sim x^4-2x$$

又由于 $x^4$ 是比 $-2x$ 更高阶的无穷小，应该舍去，于是：

$$e^{x^4-2x}-1\sim -2x$$

因此可知，$e^{x^4-2x}-1$ 是一阶无穷小。

C 选项：6 阶无穷小

$${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t\Rightarrow$$

变限积分求导 $\Rightarrow$

$${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t=2x\sin x^4=2x^5.$$

由于求一次导会导致降一阶，因此，${\int }_0^{x^2}\sin t^2\mathrm{d}t$ 就是一个 $5+1=6$ 的无穷小。

Tips:

事实上，对于变限积分类无穷小，我们可以使用如下公式快速计算出其无穷小的阶数：

积分上下限中无穷小的阶数 $\times$ (被积函数中无穷小的阶数 + 1).

D 选项：2 阶无穷小

这个无穷小不能用等价无穷小代换的方式求解，因为会导致无效求解的发生，例如：

$$\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}=$$

$$(1+2x{)}^{\frac{1}{2}}-(1+3x{)}^{\frac{1}{3}}=$$

$$(e^{\frac{1}{2}\ln (1+2x)}-1)-(e^{\frac{1}{3}\ln (1+3x)}-1)\sim \frac{1}{2}\cdot 2x-\frac{1}{3}\cdot 3x=0$$

因此，我们只能使用如下泰勒公式展开：

$$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+O(x^2)\cdots$$

于是：

$$\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}=$$

$$[1+\frac{1}{2}(2x)+\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x{)}^2+0\left(x^2\right)]-$$

$$[1+\frac{1}{3}(3x)+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(3x{)}^2+o\left(x^2\right)]=$$

$$1+x+\frac{-\frac{1}{4}}{2}\cdot 4x^2-1-x-\frac{\frac{-2}{9}}{2}\cdot 9x^2$$

$$-\frac{1}{2}{x}^2+x^2=\frac{1}{2}{x}^2+o\left(x^2\right).$$

因此可知，$\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}$ 是一个二阶无穷小。

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