这有一道求解无穷小阶数的经典题目

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中最高阶的是哪个？

A. $(1+x)^{x^{2}}-1$

B. $e^{x^{4}-2 x}-1$

C. $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t$

D. $\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$

难度评级：

二、解析

A 选项：3 阶无穷小

根据《常用的等价无穷小公式列表》可知：

$$
[1+\beta(x)]^{\alpha(x)}-1 \sim \alpha(x) \beta(x)
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(1+x)^{x^{2}}-1 \Rightarrow
$$

$$
(1+x)^{x^{2}}-1 \sim x \cdot x^{2}=x^{3}
$$

因此可知，$(1+x)^{x^{2}}-1$ 是三阶无穷小。

B 选项：1 阶无穷小

首先：

$$
e^{x^{4}-2 x}-1 \sim x^{4}-2 x
$$

又由于 $x^{4}$ 是比 $-2x$ 更高阶的无穷小，应该舍去，于是：

$$
e^{x^{4}-2 x}-1 \sim -2 x
$$

因此可知，$e^{x^{4}-2 x}-1$ 是一阶无穷小。

C 选项：6 阶无穷小

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

变限积分求导 $\Rightarrow$

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t = 2 x \sin x^{4} = 2 x^{5}.
$$

由于求一次导会导致降一阶，因此，$\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~ d} t$ 就是一个 $5 + 1 = 6$ 的无穷小。

Tips:

事实上，对于变限积分类无穷小，我们可以使用如下公式快速计算出其无穷小的阶数：

积分上下限中无穷小的阶数 $\times$ (被积函数中无穷小的阶数 + 1).

D 选项：2 阶无穷小

这个无穷小不能用等价无穷小代换的方式求解，因为会导致无效求解的发生，例如：

$$
\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x} =
$$

$$
(1+2 x)^{\frac{1}{2}}-(1+3 x)^{\frac{1}{3}}=
$$

$$
\Big(e^{\frac{1}{2} \ln (1+2 x)}-1 \Big)- \Big( e^{\frac{1}{3} \ln (1+3 x)}-1 \Big) \sim \frac{1}{2} \cdot 2 x-\frac{1}{3} \cdot 3 x = 0
$$

因此，我们只能使用如下泰勒公式展开：

$$
1+ \alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)}{2!} x^{2} + O(x^{2}) \cdots
$$

于是：

$$
\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x} =
$$

$$
{\left[1+\frac{1}{2}(2 x)+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{2 !}(2 x)^{2}+0\left(x^{2}\right)\right]-}
$$

$$
{\left[1+\frac{1}{3}(3 x)+\frac{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)}{2 !}(3 x)^{2}+o\left(x^{2}\right)\right]=}
$$

$$
1+x+\frac{-\frac{1}{4}}{2} \cdot 4 x^{2}-1-x-\frac{\frac{-2}{9}}{2} \cdot 9 x^{2}
$$

$$
-\frac{1}{2} x^{2}+x^{2}=\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right).
$$

因此可知，$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ 是一个二阶无穷小。

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