通过一道题记住什么是行最简矩阵

一、题目

下面哪个矩阵是行最简矩阵：

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

二、解析

01

全零的行（第二行）不在最下面，因此不是行最简矩阵：

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

02

第三行有非零元 $1$（也被称为“主元”），但是这个 $1$ 所在的第四列的其余元素不全为零，因此不是行最简矩阵：

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

03

是行最简矩阵：

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

04

第二行是非零行，但是该行的第一个非零元是 $2$ 没有化为 $1$:

$$\left[\begin{array}{llll}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

拓展资料

行最简矩阵的定义：

1. 行最简矩阵首先是一个行阶梯形矩阵；
2. 非零行的第一个非零元素必须是 $1$;
3. 非零行的第一个元素 $1$ 所在列的其余元素全为零；

下面就是一个行最简矩阵：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right]$$

行阶梯矩阵的定义：

1. 每个阶梯只占一行；
2. 元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；
3. 元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行
4. 形象地说，行阶梯矩阵就像是一个倒过来的梯子

下面就是一个行阶梯矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

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