通过一道题记住什么是行最简矩阵

一、题目

下面哪个矩阵是行最简矩阵：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

二、解析

01

全零的行（第二行）不在最下面，因此不是行最简矩阵：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

02

第三行有非零元 $1$（也被称为“主元”），但是这个 $1$ 所在的第四列的其余元素不全为零，因此不是行最简矩阵：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

03

是行最简矩阵：

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

04

第二行是非零行，但是该行的第一个非零元是 $2$ 没有化为 $1$:

$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

拓展资料

行最简矩阵的定义：

1. 行最简矩阵首先是一个行阶梯形矩阵；
2. 非零行的第一个非零元素必须是 $1$;
3. 非零行的第一个元素 $1$ 所在列的其余元素全为零；

下面就是一个行最简矩阵：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
$$

行阶梯矩阵的定义：

1. 每个阶梯只占一行；
2. 元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；
3. 元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行
4. 形象地说，行阶梯矩阵就像是一个倒过来的梯子

下面就是一个行阶梯矩阵：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$

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