考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年）

题目 05

已知 $\mathit{A}$ 是 $m$ 阶矩阵, $\mathit{B}$ 是 $n$ 阶矩阵,且 $|\mathit{A}|=a$, $|\mathit{B}|=b$, 则 $\left|\begin{array}{ll}\mathit{O}& \mathit{A}\\ \mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right|=?$

解析 05

将 $(BO)$ 的第 $1$ 行与 $(OA)$ 的全部行对调 $m$ 次，再将 $(BO)$ 的第 $2$ 行与 $(OA)$ 的全部行对调 $m$ 次，就可以让 $(BO)$ 中的行不断“上浮”，$(OA)$ 中的行不断“下沉”——重复这个步骤 $n$ 次之后，我们一共执行了 $nm$ 次对调操作，此时，会得到如下行列式：

$$\left|\begin{array}{cc}B& O\\ O& A\end{array}\right|$$

由于每对调一次都会产生一个负号，因此，一共产生了 $(-1{)}^{nm}$ 负号，于是：

$$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{nm}\left|\begin{array}{cc}B& O\\ O& A\end{array}\right|\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{nm}|B|\cdot |A|\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{nm}ab.$$