考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年）

题目 02

已知 $\mathit{A}$ 为二阶矩阵, 且 $\mathit{A}$ 的每行元素之和均为 $4$, 且 $|\mathit{E}+\mathit{A}|=0$, 则 $|2\mathit{E}+{\mathit{A}}^2|=?$

解析 02

由《为什么当矩阵各行元素之和都等于同一个数时，这个数就是一定是特征值之一？》这篇文章可知，若 $A$ 的每行元素之和均为 $4$, 则 $A$ 一定有一个特征值为 $4$.

又由 $|\mathit{E}+\mathit{A}|=0$ 可知，矩阵 $E+A$ 一定有一个特征值为 $0$, 即：

$$1+(-1)=0$$

因此，矩阵 $A$ 一定有一个特征值为 $-1$.

又由于 $A$ 是二阶矩阵，只能有两个特征值，所有，矩阵 $A$ 的全部特征值为：

$$4,-1$$

于是，矩阵 $2\mathit{E}+{\mathit{A}}^2$ 的全部特征值为：

$$\{\begin{array}{ll}& 2+4^2=18;\\ & 2+(-1{)}^2=3\end{array}$$

因此

$$|2\mathit{E}+{\mathit{A}}^2|=18\times 3=54.$$