你能用一个初等矩阵表示一个初等行变换的过程吗？

一、题目

设 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right]$ 经初等行变换化成阶梯形矩阵 $\mathit{B}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 0& 2& -1\end{array}\right]$, 初等变换 过程如下:

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 0& 6& -3\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 0& 2& -1\end{array}\right]$ $=$ $\mathit{B}$.

因此，若有可逆阵 $P$, 使得 $PA=B$, 其中 $P=?$

难度评级：

二、解析

由“左行右列”原则可知，变化过程 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 0& 6& -3\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 0& 2& -1\end{array}\right]$ $=$ $\mathit{B}$ 可以表示为：

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$ $\to$ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{3}& \frac{-2}{3}\end{array}\right]$.

于是可知：

$$P=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{3}& \frac{-2}{3}\end{array}\right].$$

---