你能用一个初等矩阵表示一个初等行变换的过程吗？

一、题目

设 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2\end{array}\right]$ 经初等行变换化成阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]$, 初等变换 过程如下:

$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 6 & -3
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -1
\end{array}\right]$ $=$ $\boldsymbol{B}$.

因此，若有可逆阵 $P$, 使得 $P A=B$, 其中 $P=?$

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二、解析

由“左行右列”原则可知，变化过程 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 6 & -3
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -1
\end{array}\right]$ $=$ $\boldsymbol{B}$ 可以表示为：

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} \end{bmatrix}$.

于是可知：

$$
P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} \end{bmatrix}.
$$

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