这个“需要”199次矩阵乘法运算的题目你会做吗？

一、题目

$${\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{99}\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]{\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^{100}=?$$

难度评级：

二、解析

首先，$\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 就是把单位矩阵 $E$ 的第一行和第二行对换了一下位置，由“左行右列”的原则可知：

$$\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

也就是说，矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 乘以它本身，就相当于不断的让第一行和第二行进行对换，而且，在兑换奇数次之后，还是这个矩阵本身，即：

$${\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{99}=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$$

同样的，让 ${\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^{100}$ 不断地乘以它本身，就相当于把该矩阵的第一行和第三行反复对调，而且，在对调偶数次之后，得到的是单位矩阵本身，即：

$${\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^{100}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

于是可知：

$${\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{99}\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]{\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^{100}=$$

$$\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=$$

$$\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=$$

根据“左行右列”原则：

$$\left[\begin{array}{lll}4& 5& 6\\ 1& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right].$$

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