这个矩阵求逆的题目直接求解很快，间接求解也可能很“快”

一、题目

已知 $\mathit{\alpha }=(2,3,-1{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{\beta }=(1,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$, $\mathit{A}=\mathit{E}+\mathit{\alpha }{\mathit{\beta }}^{\mathrm{\top }}$, 则 $(\mathit{A}-2\mathit{E}{)}^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

方法 1：直接计算，不绕弯

由题可知：

$$A=E+\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}\Rightarrow A-2E=\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}-E$$

又：

$$\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)(1,0,0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$$

因此：

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$$

于是，根据《用初等变换法求逆矩阵》得方法，可得：

$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 1& 0\\ -1& 0& -1& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{lllllc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 3& -1& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0& -1\end{array}\right)$$

即：

$$(A-2E{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right).$$

方法 2：用一些技巧，但花费的时间可能得不偿失

首先：

$${\beta }^{\mathrm{\top }}\alpha =(1,0,0)\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ -1\end{array}\right)=2$$

于是：

$${\left(\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}\right)}^2=\alpha \left({\beta }^{\mathrm{\top }}\alpha \right){\beta }^{\mathrm{\top }}=2\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}$$

又：

$$A=E+\partial {\beta }^{\mathrm{\top }}\Rightarrow A-E=\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}$$

所以：

$$(A-E{)}^2=2(A-E)\Rightarrow$$

$$A^2+E-2A-2A+2E=0\Rightarrow$$

$$A^2+3E-4A=O$$

因此：

$$(A-2E{)}^2=A^2+4E-4A\Rightarrow$$

$$(A-2E{)}^2=E\Rightarrow$$

$$(A-2E)(A-2E)=E$$

于是，根据逆矩阵的定义可知：

$$(A-2E{)}^{-1}=(A-2E)=\alpha {\beta }^{\mathrm{\top }}-E=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 3& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right).$$

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