求解三角函数积分：能合并的先合并

一、题目

$$I={\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

方法 1：合并化简

$$I={\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{\pi }x|\cos x|\sin x\mathrm{d}x=$$

Tips:

如上式，由于 $\cos x$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 区间上是小于零的，因此，要加上绝对值符号，否则不符合原式的含义。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos x\sin x\mathrm{d}x–{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }x\cos x\sin x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow$$

Tips:

相关公式可以参考：《三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 的二倍角公式（03-A001）》

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin 2x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }x\sin 2x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$(\cos 2x{)}^{\prime }=-2\sin 2x\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\mathrm{d}(\cos 2x)+\frac{1}{4}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }x\mathrm{d}(\cos 2x)=$$

$$\frac{-1}{4}[{x\cos 2x|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos 2x\mathrm{d}(2x)]+$$

$$\frac{1}{4}[{x\cos 2x|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }-\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos 2x\mathrm{d}(2x)]=$$

$$\frac{-1}{4}[\frac{-\pi }{2}-0-{\frac{1}{2}\sin 2x|}_0^{\frac{\pi }{2}}]+$$

$$\frac{1}{4}[\pi +\frac{\pi }{2}-{\frac{1}{2}\sin 2x|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }]=$$

$$\frac{-1}{4}[-\frac{\pi }{2}-(\frac{1}{2}\times 0-\frac{1}{2}\times 0)]+$$

$$\frac{1}{4}[\pi +\frac{\pi }{2}-(\frac{1}{2}\times 0-\frac{1}{2}\times 0)]=$$

$$\frac{-1}{4}\cdot \frac{-\pi }{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3\pi }{2}=\frac{\pi }{8}+\frac{3\pi }{8}=\frac{4\pi }{8}=\frac{\pi }{2}.$$

方法 2：平移代换

$$I={\int }_0^{\pi }x\sqrt{{\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x}\mathrm{d}x=$$

Tips:

原式中 $\sqrt{{\cos }^{2}x-{\cos }^{4}x}$ 关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称，可以改造成关于 $x=0$ 对称，这样就可以利用一些奇函数的属性了。

$$t=x-\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=t+\frac{\pi }{2}\Rightarrow t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(t+\frac{\pi }{2})\sqrt{{\cos }^2(t+\frac{\pi }{2})-{\cos }^4(t+\frac{\pi }{2})}dt=$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(t+\frac{\pi }{2})\sqrt{{\sin }^{2}t-{\sin }^{4}t}dt\Rightarrow$$

$$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}t\sqrt{{\sin }^{2}t-{\sin }^{4}t}dt+\frac{\pi }{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\sin }^{2}t-{\sin }^{4}t}dt=$$

$$I=0+2\cdot \frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\sin }^{2}t-{\sin }^{4}t}dt\Rightarrow$$

$$I=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\sin }^{2}t(1-{\sin }^{2}t)}dt\Rightarrow$$

$$I=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t}dt\Rightarrow$$

$$I=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin t\cos tdt=$$

$$I=\frac{\pi }{2}{\sin }^{2}t{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=$$

$$I=\frac{\pi }{2}(1-0)=\frac{\pi }{2}.$$

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