求解三角函数积分：能合并的先合并

一、题目

$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

方法 1：合并化简

$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x\left(1-\cos ^{2} x\right)} \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x \sin ^{2} x} \mathrm{d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x |\cos x| \sin x \mathrm{d} x =
$$

Tips:

如上式，由于 $\cos x$ 在 $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ 区间上是小于零的，因此，要加上绝对值符号，否则不符合原式的含义。

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \sin x \mathrm{d} x – \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \cos x \sin x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
\sin 2 \alpha =2 \sin \alpha \cos \alpha \Rightarrow
$$

Tips:

相关公式可以参考：《三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 的二倍角公式（03-A001）》

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2 x \mathrm{d} x-\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \sin 2 x \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
(\cos 2 x)^{\prime}=-2 \sin 2 x \Rightarrow
$$

$$
\frac{-1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \mathrm{d} (\cos 2 x)+\frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \mathrm{d} (\cos 2 x)=
$$

$$
\frac{-1}{4}\left[\left.x \cos 2 x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 x \mathrm{d} (2 x)\right]+
$$

$$
\frac{1}{4}\left[\left.x \cos 2 x\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}-\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos 2 x \mathrm{d} (2 x)\right]=
$$

$$
\frac{-1}{4}\left[\frac{-\pi}{2}-0-\left.\frac{1}{2} \sin 2 x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}\right]+
$$

$$
\frac{1}{4}\left[\pi+\frac{\pi}{2}-\left.\frac{1}{2} \sin 2 x\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}\right]=
$$

$$
\frac{-1}{4}\left[-\frac{\pi}{2}-\left(\frac{1}{2} \times 0-\frac{1}{2} \times 0\right)\right]+
$$

$$
\frac{1}{4}\left[\pi+\frac{\pi}{2}-\left(\frac{1}{2} \times 0-\frac{1}{2} \times 0\right)\right]=
$$

$$
\frac{-1}{4} \cdot \frac{-\pi}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \pi}{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{3 \pi}{8}=\frac{4 \pi}{8}=\frac{\pi}{2}.
$$

方法 2：平移代换

$$
I=\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{d} x=
$$

Tips:

原式中 $\sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x}$ 关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 对称，可以改造成关于 $x = 0$ 对称，这样就可以利用一些奇函数的属性了。

$$
t=x-\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=t+\frac{\pi}{2} \Rightarrow t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(t+\frac{\pi}{2}\right) \sqrt{\cos ^{2}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)-\cos ^{4}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)} d t =
$$

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(t+\frac{\pi}{2}\right) \sqrt{\sin ^{2} t-\sin ^{4} t} d t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t \sqrt{\sin ^{2} t-\sin ^{4} t} d t+\frac{\pi}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^{2} t-\sin ^{4} t} d t =
$$

$$
I=0+2 \cdot \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^{2} t-\sin ^{4} t} d t \Rightarrow
$$

$$
I=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^{2} t\left(1-\sin ^{2} t\right)} d t \Rightarrow
$$

$$
I=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin ^{2} t \cos ^{2} t} d t \Rightarrow
$$

$$
I=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t d t=
$$

$$
I = \frac{\pi}{2} \sin ^{2} t \Big|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=
$$

$$
I=\frac{\pi}{2}(1-0)=\frac{\pi}{2}.
$$

---