求解三角函数积分:能合并的先合并

一、题目题目 - 荒原之梦

I=0πxcos2xcos4x dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

方法 1:合并化简

I=0πxcos2xcos4xdx=

0πxcos2x(1cos2x)dx=

0πxcos2xsin2xdx=

0πx|cosx|sinxdx=

Tips:

如上式,由于 cosx(π2,π) 区间上是小于零的,因此,要加上绝对值符号,否则不符合原式的含义。

0π2xcosxsinxdxπ2πxcosxsinxdx

sin2α=2sinαcosα

Tips:

相关公式可以参考:《三角函数 sincos 的二倍角公式(03-A001)

120π2xsin2xdx12π2πxsin2xdx

(cos2x)=2sin2x

140π2xd(cos2x)+14π2πxd(cos2x)=

14[xcos2x|0π2120π2cos2xd(2x)]+

14[xcos2x|π2π12π2πcos2xd(2x)]=

14[π2012sin2x|0π2]+

14[π+π212sin2x|π2π]=

14[π2(12×012×0)]+

14[π+π2(12×012×0)]=

14π2+143π2=π8+3π8=4π8=π2.

方法 2:平移代换

I=0πxcos2xcos4xdx=

Tips:

原式中 cos2xcos4x 关于 x=π2 对称,可以改造成关于 x=0 对称,这样就可以利用一些奇函数的属性了。

t=xπ2x=t+π2t(π2,π2)

I=π2π2(t+π2)cos2(t+π2)cos4(t+π2)dt=

I=π2π2(t+π2)sin2tsin4tdt

I=π2π2tsin2tsin4tdt+π2π2π2sin2tsin4tdt=

I=0+2π20π2sin2tsin4tdt

I=π0π2sin2t(1sin2t)dt

I=π0π2sin2tcos2tdt

I=π0π2sintcostdt=

I=π2sin2t|0π2=

I=π2(10)=π2.


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