计算累次积分的核心:分离两个变量,在两个不同的积分中分别计算

一、题目题目 - 荒原之梦

12 dx1x2yexy dy=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,计算二次积分的关键就是要将 xy 这两个变量拆分,分别放到两个积分中,从右向左依次计算——

拆分的方法主要有三种:

  1. 直接拆分;
  2. 交换积分次序后再拆分;
  3. 进行变量代换后再拆分。

观察可知,在本题中,如果先对 yexy 中的 y 进行积分,很难将 x 拆分出去,因此,考虑采取上面提到的另外两种方式进行变量的拆分,具体方法如下:

方法 1:交换积分次序

首先,我们可以绘制出如下积分区域图:

计算累次积分的核心:分离两个变量,在两个不同的积分中分别计算 | 荒原之梦
图 01.

根据上图,我们就可以将积分次序,从先对 y 积分后对 x 积分,更改为先对 x 积分后对 y 积分(需要分段积分):

12 dx1x2yexy dy=

12 dy12yexy dx+121 dy1y2yexy dx.

其中:

12yexy dx=y12exy dx=y1yexy|12=

e2yey.

又:

1y2yexy=y1yexy|1y2=e2ye.

于是,原式可写为:

12(e2yey) dy+121(e2ye) dy=

12e2y|12ey|12+12e2y|121ey|121=

12(e4e2)(e2e)+12(e2e)12e=

=12e412e2e2+e+12e212e12e=

12e4e2.

方法 2:进行变量代换

要拆分被积函数 yexy 中的 xy, 主要就是要拆分开 exy 中的 xy——但没法直接拆分,因此,我们可以令 u=xy, 于是有:

y(1x,2)u(1,2x)

y=1xu dy=1x du

进而:

1x2yexy dy=

12x1xueu1x du=

1x212xueu du=1x2(ueueu)|12x=

Tips:
上面的积分运算过程可以参考《考研数学解题思路积累:和 ex 有关的那些式子》中的第 04 部分。

1x2(2xe2xe2xe+e)=

1x2(2xe2xe2x)=1x2e2x(2x1).

于是,原式可以写成:

122x1x2e2x dx=12(2x1x2)e2x dx=

2121xe2x dx121x2e2x dx=

121x d(e2x)121x2e2x dx=

1xe2x|1212e2x1x2 dx121x2e2x dx=

12e4e2.


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress