计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算

一、题目

$${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{\frac{1}{x}}^{2}y{\mathrm{e}}^{xy}\mathrm{d}y=?$$

难度评级：

二、解析

首先，计算二次积分的关键就是要将 $x$ 和 $y$ 这两个变量拆分，分别放到两个积分中，从右向左依次计算——

拆分的方法主要有三种：

1. 直接拆分；
2. 交换积分次序后再拆分；
3. 进行变量代换后再拆分。

观察可知，在本题中，如果先对 $y{\mathrm{e}}^{xy}$ 中的 $y$ 进行积分，很难将 $x$ 拆分出去，因此，考虑采取上面提到的另外两种方式进行变量的拆分，具体方法如下：

方法 1：交换积分次序

首先，我们可以绘制出如下积分区域图：

根据上图，我们就可以将积分次序，从先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分，更改为先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分（需要分段积分）：

$${\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_{\frac{1}{x}}^{2}y{e}^{xy}\mathrm{d}y=$$

$${\int }_1^2\mathrm{d}y{\int }_1^{2}y{e}^{xy}\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\frac{1}{y}}^{2}y{e}^{xy}\mathrm{d}x.$$

其中：

$${\int }_1^{2}y{e}^{xy}\mathrm{d}x=y{\int }_1^2{e}^{xy}\mathrm{d}x={y\cdot \frac{1}{y}{e}^{xy}|}_1^2=$$

$$e^{2y}-e^y.$$

又：

$${\int }_{\frac{1}{y}}^{2}y{e}^{xy}={y\cdot \frac{1}{y}{e}^{xy}|}_{\frac{1}{y}}^2=e^{2y}-e.$$

于是，原式可写为：

$${\int }_1^2(e^{2y}-e^y)\mathrm{d}y+{\int }_{\frac{1}{2}}^1(e^{2y}-e)\mathrm{d}y=$$

$${\frac{1}{2}{e}^{2y}|}_1^2-{e^y|}_1^2+{\frac{1}{2}{e}^{2y}|}_{\frac{1}{2}}^1-{e\cdot y|}_{\frac{1}{2}}^1=$$

$$\frac{1}{2}(e^4-e^2)-(e^2-e)+\frac{1}{2}(e^2-e)-\frac{1}{2}e=$$

$$=\frac{1}{2}{e}^4-\frac{1}{2}{e}^2-e^2+e+\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{2}e-\frac{1}{2}e=$$

$$\frac{1}{2}{e}^4-e^2.$$

方法 2：进行变量代换

要拆分被积函数 $y{\mathrm{e}}^{xy}$ 中的 $x$ 和 $y$, 主要就是要拆分开 ${\mathrm{e}}^{xy}$ 中的 $x$ 和 $y$——但没法直接拆分，因此，我们可以令 $u=xy$, 于是有：

$$y\in (\frac{1}{x},2)\Rightarrow u\in (1,2x)\Rightarrow$$

$$y=\frac{1}{x}u\Rightarrow \mathrm{d}y=\frac{1}{x}\mathrm{d}u$$

进而：

$${\int }_{\frac{1}{x}}^{2}y{e}^{xy}\mathrm{d}y=$$

$${\int }_1^{2x}\frac{1}{x}u\cdot e^u\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}u=$$

$$\frac{1}{x^2}{\int }_1^{2x}u{e}^u\mathrm{d}u=\frac{1}{x^2}(u{e}^u-e^u){|}_1^{2x}=$$

Tips：
上面的积分运算过程可以参考《考研数学解题思路积累：和 $e^x$ 有关的那些式子》中的第 $04$ 部分。

$$\frac{1}{x^2}(2x{e}^{2x}-e^{2x}-e+e)=$$

$$\frac{1}{x^2}(2x{e}^{2x}-e^{2x})=\frac{1}{x^2}\cdot e^{2x}(2x-1).$$

于是，原式可以写成：

$${\int }_1^2\frac{2x-1}{x^2}{e}^{2x}\mathrm{d}x={\int }_1^2(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})e^{2x}\mathrm{d}x=$$

$$2{\int }_1^2\frac{1}{x}{e}^{2x}\mathrm{d}x-{\int }_1^2\frac{1}{x^2}{e}^{2x}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_1^2\frac{1}{x}\mathrm{d}\left(e^{2x}\right)-{\int }_1^2\frac{1}{x^2}{e}^{2x}\mathrm{d}x=$$

$${\frac{1}{x}{e}^{2x}|}_1^2-{\int }_1^2{e}^{2x}\cdot \frac{-1}{x^2}\mathrm{d}x-{\int }_1^2\frac{1}{x^2}{e}^{2x}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}{e}^4-e^2.$$

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