计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算

一、题目

$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y \mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} y = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，计算二次积分的关键就是要将 $x$ 和 $y$ 这两个变量拆分，分别放到两个积分中，从右向左依次计算——

拆分的方法主要有三种：

1. 直接拆分；
2. 交换积分次序后再拆分；
3. 进行变量代换后再拆分。

观察可知，在本题中，如果先对 $y \mathrm{e}^{x y}$ 中的 $y$ 进行积分，很难将 $x$ 拆分出去，因此，考虑采取上面提到的另外两种方式进行变量的拆分，具体方法如下：

方法 1：交换积分次序

首先，我们可以绘制出如下积分区域图：

根据上图，我们就可以将积分次序，从先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分，更改为先对 $x$ 积分后对 $y$ 积分（需要分段积分）：

$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~ d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y e^{x y} \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~ d} y \int_{1}^{2} y e^{x y} \mathrm{~ d} x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~ d} y \int_{\frac{1}{y}}^{2} y e^{x y} \mathrm{~ d} x.
$$

其中：

$$
\int_{1}^{2} y e^{x y} \mathrm{~ d} x=y \int_{1}^{2} e^{x y} \mathrm{~ d} x=\left.y \cdot \frac{1}{y} e^{x y}\right|_{1} ^{2}=
$$

$$
e^{2 y}-e^{y}.
$$

又：

$$
\int_{\frac{1}{y}}^{2} y e^{x y}=\left.y \cdot \frac{1}{y} e^{x y}\right|_{\frac{1}{y}} ^{2}=e^{2 y}-e.
$$

于是，原式可写为：

$$
\int_{1}^{2}\left(e^{2 y}-e^{y}\right) \mathrm{~ d} y+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(e^{2 y}-e\right) \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\left.\frac{1}{2} e^{2 y}\right|_{1} ^{2}-\left.e^{y}\right|_{1} ^{2}+\left.\frac{1}{2} e^{2 y}\right|_{\frac{1}{2}} ^{1}-\left.e \cdot y\right|_{\frac{1}{2}} ^{1}=
$$

$$
\frac{1}{2}\left(e^{4}-e^{2}\right)-\left(e^{2}-e\right)+\frac{1}{2}\left(e^{2}-e\right)-\frac{1}{2} e=
$$

$$
=\frac{1}{2} e^{4}-\frac{1}{2} e^{2}-e^{2}+e+\frac{1}{2} e^{2}-\frac{1}{2} e-\frac{1}{2} e=
$$

$$
\frac{1}{2} e^{4}-e^{2}.
$$

方法 2：进行变量代换

要拆分被积函数 $y \mathrm{e}^{x y}$ 中的 $x$ 和 $y$, 主要就是要拆分开 $\mathrm{e}^{x y}$ 中的 $x$ 和 $y$——但没法直接拆分，因此，我们可以令 $u=x y$, 于是有：

$$
y \in\left(\frac{1}{x}, 2\right) \Rightarrow u \in(1,2 x) \Rightarrow
$$

$$
y = \frac{1}{x} u \Rightarrow \mathrm{~ d} y=\frac{1}{x} \mathrm{~ d} u
$$

进而：

$$
\int_{\frac{1}{x}}^{2} y e^{x y} \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\int_{1}^{2x} \frac{1}{x} u \cdot e^{u} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~ d} u =
$$

$$
\frac{1}{x^{2}} \int_{1}^{2 x} u e^{u} \mathrm{~ d} u = \frac{1}{x^{2}} (u e^{u}-e^{u}) \Big|_{1} ^{2 x}=
$$

Tips：
上面的积分运算过程可以参考《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》中的第 $04$ 部分。

$$
\frac{1}{x^{2}}\left(2 x e^{2 x}-e^{2 x}-e+e\right)=
$$

$$
\frac{1}{x^{2}}\left(2 x e^{2 x}-e^{2 x}\right)=\frac{1}{x^{2}} \cdot e^{2 x}(2 x-1).
$$

于是，原式可以写成：

$$
\int_{1}^{2} \frac{2 x-1}{x^{2}} e^{2 x} \mathrm{~ d} x=\int_{1}^{2}\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right) e^{2 x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} e^{2 x} \mathrm{~ d} x-\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} e^{2 x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} \left(e^{2 x}\right)-\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} e^{2 x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.\frac{1}{x} e^{2 x}\right|_{1} ^{2}-\int_{1}^{2} e^{2 x} \cdot \frac{-1}{x^{2}} \mathrm{~ d} x-\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} e^{2 x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{1}{2} e^{4}-e^{2}.
$$

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