曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值

一、题目

曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？

难度评级：

二、解析

首先，只有位于 $X$ 轴上方的函数图像与坐标轴围成的面积才是此部分函数图像的积分——

位于 $X$ 轴下方的函数图像与坐标轴围成的面积是此部分函数图像积分的负数。

又：

$$
\begin{cases}
& \sin x > 0, x \in (0, \pi); \
& \sin x < 0, x \in (\pi, 2 \pi).
\end{cases}
$$

于是：

$$
S = \int_{0}^{\pi} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x + \Big( -\int_{\pi}^{2 \pi} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x \Big) \Rightarrow
$$

$$
S = \int_{0}^{\pi} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x-\int_{\pi}^{2 \pi} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x.
$$

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