当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大

一、题目

已知：

$a_{n} = 3 \int_{0}^{\frac{n + 1}{n}} x^{2 n - 1} \sqrt{1 + x^{2 n}} d x$

则：

$lim_{n \to \infty} n a_{n} = ?$

难度评级：

注意：抓大头的解法不能随便用，更不能直接用在被积函数和积分上下限中使用，具体内容可以阅读《计算极限问题时“抓大头”要慎重！》

$lim_{n \to \infty} n a_{n} =$

$3 lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{\frac{n + 1}{n}} x^{2 n - 1} \sqrt{1 + x^{2 n}} d x =$

抓大头：

$3 lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{\frac{n}{n}} x^{2 n} \sqrt{x^{2 n}} d x =$

$3 lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} x^{2 n} \cdot x^{n} d x =$

$3 lim_{n \to \infty} n \int_{0}^{1} x^{3 n} d x =$

$3 lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{n}{3 n + 1} x^{3 n + 1} |_{0}^{1} =$

$lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n + 1} = lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n} = 1$

由于：

${(1 + x^{2 n})}^{'} x = 2 n x^{2 n - 1} .$

于是，可以凑微分如下：

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 3 lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{n + 1}{n}} x^{2 n - 1} \sqrt{1 + x^{2 n}} d x =$

$3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n} \int_{0}^{\frac{n + 1}{n}} {(1 + x^{2 n})}^{\frac{1}{2}} d (1 + x^{2 n}) =$

$3 lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n} \cdot \frac{2}{3} {(1 + x^{2 n})}^{\frac{3}{2}} |_{0}^{\frac{n + 1}{n}} =$

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} {{[1 + {(\frac{n + 1}{n})}^{2 n}]}^{\frac{3}{2}} - 1} =$

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} {{[1 + {(1 + \frac{1}{n})}^{n \cdot 2}]}^{\frac{3}{2}} - 1} =$

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} {{[1 + e^{2}]}^{\frac{3}{2}} - 1} \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} n a_{n} = {(1 + e^{2})}^{\frac{3}{2}} - 1.$

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