通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围

一、题目

已知 $\delta >0$, 且在区间 $(-\delta ,\delta )$ 内，有：

$$\{\begin{array}{ll}& f^{\prime \prime }(x)>0;\\ & f(0)=0;\\ & f^{\prime }(0)=0\end{array}$$

又有 $I={\int }_{-\delta }^{\delta }f(x)\mathrm{d}x$.

则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？

难度评级：

二、解析

已知：

$$\{\begin{array}{ll}& f^{\prime \prime }(x)>0;\\ & f(0)=0;\\ & f^{\prime }(0)=0\end{array}$$

于是可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta ,\delta )$ 内是一个凹函数，且在 $x=0$ 处取得最小值，最小值为 $0$, 则：

$$f(x)>0,x\in (-\delta ,\delta ).$$

于是可知：

$$I={\int }_{-\delta }^{\delta }f(x)\mathrm{d}x>0.$$

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