通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围

一、题目

已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：

$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$

又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.

则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$

于是可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 内是一个凹函数，且在 $x = 0$ 处取得最小值，最小值为 $0$, 则：

$$
f(x) > 0, \quad x \in (-\delta, \delta).
$$

于是可知：

$$
I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x > 0.
$$

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