利用几何意义快速判断一重定积分的性质

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.

若下面不等式成立：

$$f(a)(b-a)<{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x<(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$$

则 $f^{\prime }(x)$ 和 $f^{\prime \prime }(x)$ 分别需要满足什么条件？

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二、解析

首先，$f(a)(b-a)$ 的值对应的就是下图中矩形区域的面积：

$(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$ 的值对应的则是下图中梯形区域的面积：

因此，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 对应的面积就是下图中曲边梯形的面积：

综上可知，需要满足的条件为（也就是形成曲边梯形的曲线所要满足的条件）：

$$\{\begin{array}{ll}& f^{\prime }(x)>0;\\ & f^{\prime \prime }(x)>0\end{array}$$

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