做了这道题你会对全微分有更深入的理解

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x,y) 可微,且 f[x+1,ln(1+x)] = (1+x)3+xln(1+x)(x+1)ln(x+1), f(x2,x1) = x4ex1+(x1)(x21)x2(x1).

则:

df(1,0)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

令:

g(x)=xln(1+x)(x+1)ln(x+1)

k(x)=(x1)(x21)x2(x1)

则:

f[x+1,ln(1+x)]=(1+x)3+g(x)

df[x+1,ln(1+x)]= d[(1+x)3+g(x)]

f1[x+1,ln(1+x)]1+f2[x+1,ln(1+x)]11+x=

3(1+x)2+g(x)

{x=1y=0{x+1=1ln(1+x)=0x=0

f1(1,0)+f2(1,0)11+0=

3(1+0)2+g(0)=3+g(0).

又:

g(0)=limx0g(x)g(0)x0=limx0ln(1+x)(x+1)ln(x+1)=

010=01=0.

于是:

f1(1,0)+f2(1,0)=3.

接着:

f(x2,x1)=x4ex1+k(x)

df(x2,x1)=

 d[x4ex1+k(x)]

f1(x2,x1)2x+f2(x2,x1)1=

4x3ex1+x4ex1+k(x).

又:

{x=1y=0{x2=1x1=0x=1

于是:

f1(1,0)2+f2(1,0)=4+1+k(0)=5+k

k(1)=limx1k(x)k(1)x1=limx1k(x)x1=

limx1(x21)x2(x1)=010=01=0

综上:

{f1(1,0)+f2(1,0)=32f1(1,0)+f2(1,0)=5

{f1(1,0)=2f2(1,0)=1

df(1,0)=f1(1,0) dx+f2(1,0) dy=2 dx+ dy


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