分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题

一、题目

已知：

$f (x) = {\begin{array}{cc} x e^{- x^{2}}, & x ⩾ 0, \\ \frac{1}{1 + \cos x}, & - 1 < x < 0, \end{array}$

则：

$I = \int_{1}^{4} f (x - 2) d x = ?$

难度评级：

令：

$t = x - 2$

则：

$x = t + 2$

$d x = d t$

$x \in (1, 4) \Rightarrow t \in (- 1, 2) \Rightarrow$

$t \in (- 1, 0) \cup (0, 2)$

于是：

$\int_{1}^{4} f (x - 2) d x = \int_{- 1}^{2} f (t) d t \Rightarrow$

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{1 + \cos t} d t + \int_{0}^{2} t e^{- t^{2}} d t .$

接着：

参考文章：
[1]. 《常用的三角函数求导公式汇总》

$\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 \Rightarrow$

$1 + \cos 2 α = 2 \cos^{2} 2 \Rightarrow$

$1 + \cos^{2} t = 2 \cos^{2} \frac{t}{2} \Rightarrow$

$\frac{1}{1 + \cos t} = \frac{1}{2} \frac{1}{\cos^{2} \frac{t}{2}} \Rightarrow$

$\frac{1}{2} \sec \frac{t}{2} = \frac{1}{2} {(\tan \frac{t}{2})}_{t}^{'} \Rightarrow$

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{1 + \cos^{2} t} d t = {\frac{1}{2} \tan \frac{t}{2} |}_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} (0 + \tan \frac{1}{2})$

又：

$\int_{0}^{2} t e^{- t^{2}} d t = \frac{- 1}{2} \int_{0}^{2} e^{- t^{2}} d (- t^{2}) \Rightarrow$

${\frac{- 1}{2} e^{- t^{2}} |}_{0}^{2} = \frac{- 1}{2} (e^{- 4} - 1)$

综上可知：

$I = \frac{1}{2} \tan \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 4}$

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