分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题

一、题目

已知：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1<x<0,\end{array}\right.
$$

则：

$$
I = \int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

令：

$$
t=x-2
$$

则：

$$
x = t + 2
$$

$$
\mathrm{d} x = \mathrm{d} t
$$

$$
x \in(1,4) \Rightarrow t \in(-1,2) \Rightarrow
$$

$$
t \in(-1,0) \cup(0,2)
$$

于是：

$$
\int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{2} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos t} \mathrm{d} t+\int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \mathrm{d} t.
$$

接着：

参考文章：
[1]. 《常用的三角函数求导公式汇总》

$$\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow
$$

$$
1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} 2 \Rightarrow
$$

$$
1+\cos ^{2} t=2 \cos ^{2} \frac{t}{2} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{1+\cos t}=\frac{1}{2} \frac{1}{\cos ^{2} \frac{t}{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \sec \frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left(\tan \frac{t}{2}\right)_{t}^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
\int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{d} t=\left.\frac{1}{2} \tan \frac{t}{2}\right|_{-1} ^{0}=\frac{1}{2}\left(0+\tan {\frac{1}{2}}\right)
$$

又：

$$
\int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \mathrm{d} t = \frac{-1}{2} \int_{0}^{2} e^{-t^{2}} \mathrm{d} \left(-t^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left.\frac{-1}{2} e^{-t^{2}}\right|_{0} ^{2}=\frac{-1}{2}\left(e^{-4}-1\right)
$$

综上可知：

$$
I = \frac{1}{2} \tan \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} e^{-4}
$$

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