求二阶偏导的小技巧:复用一阶偏导的部分结果

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(u,v) 具有二阶连续偏导数, 且满足 42fu2 2fv2 = 1, 若令 g(x,y) = f(x2+ y2,xy), 则 2gx2 2gy2 = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

gx=2xf1+yf2

:上式中中橙色的 2xy 分别是对函数 f 的第一部分和第二部分变量求导得到的,因此,在下面求解 f 的二阶偏导过程中,再次对函数 f 的第一部分和第二部分变量求导时,就可以直接使用这两个值。

2gx2=

2f1+2x2xf11+2xyf12+y2xf21+yyf22

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gy=2yf1+xf2

2gy2=

2f1+2y2yf11+2yxf12+x2yf21+xxf22

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于是:

2gx22gy2=

(4x24y2)f11+(y2x2)f22=

(x2y2)4f11(x2y2)f22=

(x2y2)(4f11f22)

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又因为:

42fu22fv2=14f11f22=1

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所以:

2gx22gy2=(x2y2)×1=x2y2.


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