先偏导再积分也能确定原函数

一、题目

已知可微函数 $f(u,v)$ 满足 $\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}$ $+$ $\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}$ $=$ $(u+v){\mathrm{e}}^v$, 且 $f(0,v)$ $=$ $(v-2){\mathrm{e}}^v$. 求 $f(x,x+y)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先，将 $f(u,v)$ 看作是 $x$ 和 $y$ 的函数，即：

$$f(u,v)\Rightarrow u=x,v=x+y\Rightarrow f(x,x+y).$$

Next

接着，求解 在函数 $f(x,x+y)$ 中对 $x$ 求导，计算出 $f_x^{\prime }$:

$$f_x^{\prime }=$$

$$\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}=$$

$$(u+v)e^v=(2x+y)e^{x+y}.$$

Next

于是：

$$f(x)=\int f_x^{\prime }\mathrm{d}x=\int (2x+y)e^{x+y}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\int (2x+y)\mathrm{d}\left(e^{x+y}\right)=$$

$$(2x+y)e^{x+y}-2\int e^{x+y}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$f(x)=(2x+y)e^{x+y}-2e^{x+y}+\phi (y).\mathrm{①}$$

其中，$\phi (y)$ 表示待定常数。

Next

接着，我们需要使用题目中给定的条件，确定 $\phi (y)$ 的具体数值。

由于当 $x=0$ 时：

$$f(0,v)=(v-2)e^v=$$

$$f(0,0+y)=(0+y-2)e^{0+y}=(y-2)e^y.\mathrm{②}$$

Next

同样的，将 $x=0$ 代入到前面的 $\mathrm{①}$ 式可得：

$$f(0,y)=y{e}^y-2e^y+\phi (y)\Rightarrow$$

$$f(0,y)=(y–2)e^y+\phi (y)\mathrm{③}$$

Next

联立 $\mathrm{②}$ 和 $\mathrm{③}$ 两式可得：

$$\phi (y)=0.$$

Next

综上可知：

$$f(x)=(2x+y)e^{x+y}-2e^{x+y}\Rightarrow$$

$$f(x)=(2x+y-2)e^{x+y}.$$

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