先偏导再积分也能确定原函数

一、题目题目 - 荒原之梦

已知可微函数 f(u,v) 满足 f(u,v)u + f(u,v)v = (u+v)ev, 且 f(0,v) = (v2)ev. 求 f(x,x+y) = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,将 f(u,v) 看作是 xy 的函数,即:

f(u,v)u=x,v=x+yf(x,x+y).

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接着,求解 在函数 f(x,x+y) 中对 x 求导,计算出 fx:

fx=

fuux+fvvx=

fu+fv=

(u+v)ev=(2x+y)ex+y.

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于是:

f(x)=fxdx=(2x+y)ex+ydx

(2x+y)d(ex+y)=

(2x+y)ex+y2ex+ydx

f(x)=(2x+y)ex+y2ex+y+φ(y).

其中,φ(y) 表示待定常数。

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接着,我们需要使用题目中给定的条件,确定 φ(y) 的具体数值。

由于当 x=0 时:

f(0,v)=(v2)ev=

f(0,0+y)=(0+y2)e0+y=(y2)ey.

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同样的,将 x=0 代入到前面的 式可得:

f(0,y)=yey2ey+φ(y)

f(0,y)=(y2)ey+φ(y)

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联立 两式可得:

φ(y)=0.

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综上可知:

f(x)=(2x+y)ex+y2ex+y

f(x)=(2x+y2)ex+y.


荒原之梦考研数学思维导图
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