分母上的根号可以通过求导去除

一、题目题目 - 荒原之梦

xex1+exdx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 1:通过求导凑出分母有理化

由于:

[(1+ex)12]=12(1+ex)12ex

[(1+ex)12]=12ex1+ex.

[(1+ex)12] 12(1+ex)12

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所以:

xex1+ex dx=

2x d(1+ex)=

2x1+ex21+ex dx.

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若令 t=1+ex, 则:

t2=1+ex

ex=t21

ln(t21)=x.

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于是:

1+ex dx=

t d[ln(t21)]=

t2tt21 dt=

2t2t21 dt=

2t21+1t21 dt=

2(1+1t21) dt=

21 dt+21t21 dt=

2t+21(t+1)(t1) dt=

2t+2(12)(1t+11t1) dt=

2t(ln|t+1|ln|t1|)+C=

2tln|t+1t1|+C.

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t=1+ex

2tln|t+1t1|+C

1+ex dx=21+exln|1+ex+11+ex1|+C.

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于是:

2x1+ex21+ex dx=

2x1+ex2[21+exln|1+ex+11+ex1|]+C=

2x1+ex41+ex+2ln|1+ex+11+ex1|+C.

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或者:

2x1+ex41+ex2ln|1+ex11+ex+1|+C.

解法 2:对根号部分整体代换

t=1+ex, 则:

ex=t21

x=ln(t21)

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于是:

xex1+exdx=

ln(t21)(t21)td[ln(t21)]=

ln(t21)(t21)t2tt21dt=

2ln(t21)dt

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分部积分

2[tln(t21)tdln(t21)]=

2tln(t21)22t2t21dt=

:去括号的时候,一定不要忘记把括号外面的数字乘进去,同时在去括号的时候要考虑一下括号内的加减号是否需要变号。

2tln(t21)4t21+1t21dt=

2tln(t21)4[t21t21dt+1t21dt]=

2tln(t21)4[1dt+1t21dt]=

2tln(t21)4t41(t+1)(t1)dt=

2tln(t21)4t4(12)[1t+11t1]dt=

2tln(t21)4t+2[ln|t+1|ln|t1|]+C=

2tln(t21)4t+2ln|t+1t1|+C.

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t=1+ex, 则:

2tln(t21)4t+2ln|t+1t1|+C=

2x1+ex41+ex+2ln|1+ex+11+ex1|+C.

其中,C 为任意常数。


荒原之梦考研数学思维导图
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