两种方法去根号:分子有理化或整体代换

一、题目题目 - 荒原之梦

32x3+2xdx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

对于含有根式的题目,一个主要的解题思路就是想办法去除根号,关于根式的一些性质可以查看《根式的常用性质》这篇文章。

解法 1:分子有理化

32x3+2xdx=

(32x)(32x)(3+2x)(32x)dx=

32x94x2dx=

394x2dx+2x94x2dx=

39[1(23x)2]dx+14(94x2)94x2dx=

注意:(4x2) = 8x.

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331(23x)2dx+14d(94x2)94x2=

3211(23x)2d(23x)+14(94x2)12d(94x2)=

32arcsin(23x)+14294x2+C=

进行积分运算时,可以通过对积分所得的结果进行求导运算的方式进行检验:(294x2) = 212(94x2)12

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32arcsin(23x)+1294x2+C.

其中,C 为任意常数。

解法 2:整体代换

32x3+2xdx

t=32x3+2x, 则:

t2=32x3+2x

t2(3+2x)=32x

3t2+2t2x=32x

2t2x+2x=33t2

x(2t2+2)=33t2

x=33t22+2t2

x=321t21+t2.

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于是:

dx=32(1t21+t2)

dx=322t(1+t2)2t(1t2)(1+t2)2dt

dx=322t2t32t+2t3(1+t2)2dt

dx=324t(1+t2)2dt

dx=6t(1+t2)2dt.

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进而:

32x3+2xdx=

t6t(1+t2)2dt=

6t2(1+t2)2dt.

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又:

(11+t2)=2t(1+t2)2

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于是:

6t2(1+t2)2dt=

3td(11+t2)=

3t1+t2311+t2dt=

3t1+t23arctant+C

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t=32x3+2x

332x3+2x1+32x3+2x3arctan32x3+2x+C

332x3+2x63+2x3arctan32x3+2x+C

32x3+2x3+2x23arctan32x3+2x+C

(32x)(3+2x)24(3+2x)3arctan32x3+2x+C

(32x)(3+2x)43arctan32x3+2x+C

94x243arctan32x3+2x+C

1294x23arctan32x3+2x+C.

其中,C 为任意常数。

注意:使用上述两种方法计算所得的结果是不一样的,但都是正确的。


荒原之梦考研数学思维导图
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