当积分符号无法通过积分运算消去时,就要尝试通过求导运算消去

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 xf(x)dx = arctanx+C, 则 f(x)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察可知,由于在本题中,被积函数并不是一个已知的确定函数,因此,无法通过常规的积分运算消去积分符号——

只能尝试使用求导运算消去积分符号,先求出 f(x), 之后再通过对 f(x) 的积分运算,求解出 f(x).

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[xf(x)dx]=xf(x)=(arctanx)

xf(x)=11+x2

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f(x)=1x(1+x2)

f(x)=1xx1+x2

f(x)dx=(1xx1+x2)dx

f(x)dx=ln|x|12ln|1+x2|+C

f(x)dx=ln|x|ln1+x2+C

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f(x)dx=ln|x|1+x2+C

f(x)=ln|x|1+x2+C.

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当然,由于用分部积分可以去掉“一半”的积分符号,因此,我们也可以不通过直接计算 [xf(x)dx] 的方式去掉积分符号,而是通过分部积分完成这部分操作,但最终结果是一样的:

xf(x)dx=arctanx+C

xf(x)f(x)dx=arctanx+C

f(x)+xf(x)f(x)=11+x2

xf(x)=11+x2

f(x)=1x(1+x2)

之后的操作步骤,可以参考本文前面的讲述进行。

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综上所述:

f(x)=ln|x|1+x2+C.

其中,C 为任意常数。


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