求三阶微分方程 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$

一、题目

求三阶微分方程 $y^{'''}$ $+$ $y^{''}$ $-$ $y^{'}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值 $y (0)$ $=$ $4$ , $y^{'} (0)$ $=$ $4$ , $y^{''} (0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$ .

难度评级：

解题思路简图

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二、解析

首先，将 $y (0)$ $=$ $4$ , $y^{'} (0)$ $=$ $4$ , $y^{''} (0)$ $=$ $0$ 代入原式可得：

$y^{'''} (0) + y^{''} - y^{'} - y = 0 \Rightarrow$

$y^{'''} (0) + 0 - 4 - 4 = 0 \Rightarrow$

$y^{'''} (0) = 8$

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又有特征方程：

$λ^{3} + λ^{2} - λ - 1 = 0 \Rightarrow$

${\begin{matrix} λ_{1} = 1; \\ λ_{2} = λ_{3} = - 1. \end{matrix}$

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即，该常系数齐次微分方程有一个一重特征根和一个二重特征根，于是，可设特解为：

$Y = C_{1} e^{λ_{1} x} + (C_{2} + C_{3} x) e^{λ_{2} x} \Rightarrow$

$Y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x} + C_{3} x e^{λ_{2} x} \Rightarrow$

$Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + C_{3} x e^{- x} \Rightarrow$

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进而有：

$Y^{'} = C_{1} e^{x} - C_{2} e^{- x} + C_{3} e^{- x} - C_{3} x e^{- x}$

$Y^{''} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - C_{3} e^{- x} - C_{3} e^{- x} + C_{3} x e^{- x}$

$Y^{'''} = C_{1} e^{- x} - C_{2} e^{- x} + C_{3} e^{- x} + C_{3} e^{- x} + C_{3} e^{- x} - C_{3} x e^{- x}$

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整理可得：

${\begin{matrix} Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + C_{3} x e^{- x}; \\ Y^{'} = C_{1} e^{x} - C_{2} e^{- x} + C_{3} e^{- x} - C_{3} x e^{- x}; \\ Y^{''} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - 2 C_{3} e^{- x} + C_{3} x e^{- x} \\ Y^{'''} = C_{1} e^{- x} - C_{2} e^{- x} + 3 C_{3} e^{- x} - C_{3} x e^{- x} \end{matrix}$

将 $y (0)$ $=$ $4$ , $y^{'} (0)$ $=$ $4$ , $y^{''} (0)$ $=$ $0$ , $y^{'''} (0)$ $=$ $8$ 代入上面这组式子，可得：

${\begin{matrix} C_{1} + C_{2} = 4; \\ C_{1} - C_{2} + C_{3} = 4; \\ C_{1} + C_{2} - 2 C_{3} = 0; \\ C_{1} - C_{2} + 3 C_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow$

${\begin{matrix} C_{1} = 4 - C_{2}; \\ 2 C_{1} - C_{3} = 4 \\ C_{1} - C_{2} + 3 C_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow$

${\begin{matrix} 2 (4 - C_{2}) - C_{3} = 4 \\ 4 - 2 C_{2} + 3 C_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow$

${\begin{matrix} 8 - 2 C_{2} - C_{3} = 4 \\ 4 - 2 C_{2} + 3 C_{3} = 8 \end{matrix} \Rightarrow$

$4 - 4 C_{3} = - 4 \Rightarrow C_{3} = 2 \Rightarrow$

${\begin{matrix} C_{1} = 3 \\ C_{2} = 1 \\ C_{3} = 2 \end{matrix}$

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综上可知，满足该微分方程指定初值的特解为：

$Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + C_{3} x e^{- x} \Rightarrow$

$y^{*} = 3 e^{x} + e^{- x} + 2 x e^{- x} .$

求三阶微分方程 $y^{'''}$ $+$ $y^{''}$ $-$ $y^{'}$ $-$ $y$ $=$ $0$ 满足指定初值的特解 $y^{*}$

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