求三阶微分方程 y + y y y = 0 满足指定初值的特解 y

一、题目题目 - 荒原之梦

求三阶微分方程 y + y y y = 0 满足指定初值 y(0) = 4, y(0) = 4, y(0) = 0 的特解 y.

难度评级:

判断方程类型
三阶常系数齐次
求出特征值
根据公式确定通解的形式
代入条件求出待定常数
写出特解

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,将 y(0) = 4, y(0) = 4, y(0) = 0 代入原式可得:

y(0)+yyy=0

y(0)+044=0

y(0)=8

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又有特征方程:

λ3+λ2λ1=0

{λ1=1;λ2=λ3=1.

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即,该常系数齐次微分方程有一个一重特征根和一个二重特征根,于是,可设特解为:

Y=C1eλ1x+(C2+C3x)eλ2x

Y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3xeλ2x

Y=C1ex+C2ex+C3xex

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进而有:

Y=C1exC2ex+C3exC3xex

Y=C1ex+C2exC3exC3ex+C3xex

Y=C1exC2ex+C3ex+C3ex+C3exC3xex

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整理可得:

{Y=C1ex+C2ex+C3xex;Y=C1exC2ex+C3exC3xex;Y=C1ex+C2ex2C3ex+C3xexY=C1exC2ex+3C3exC3xex

y(0) = 4, y(0) = 4, y(0) = 0, y(0) = 8 代入上面这组式子,可得:

{C1+C2=4;C1C2+C3=4;C1+C22C3=0;C1C2+3C3=8

{C1=4C2;2C1C3=4C1C2+3C3=8

{2(4C2)C3=442C2+3C3=8

{82C2C3=442C2+3C3=8

44C3=4C3=2

{C1=3C2=1C3=2

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综上可知,满足该微分方程指定初值的特解为:

Y=C1ex+C2ex+C3xex

y=3ex+ex+2xex.


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