变限积分+微分方程:已知 f(x) = 0x (x2t2) f(t) dt + x2f(x)

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x) 具有连续的一阶导数, 且满足 f(x) = 0x (x2t2) f(t) dt + x2, 求 f(x) 的表达式。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,对于含有变限积分的式子,一般先进行求导运算:

f(x)=0x(x2t2)f(t)dt+x2

f(x)=x20xf(t)dt0xt2f(t)dt+x2

f(x)=2x0xf(t)dt+x2f(x)x2f(x)+2x

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f(x)=2x0xf(t)dt+2x

这里需要注意的有两点:

  1. 题目中只说了 f(x) 有一阶连续的导数,因此我们只能对 f(x) 做一次求导运算,不能再次进行第二次求导运算了;
  2. 根据牛顿-莱布尼兹公式或者积分与导数的意义可知: f(x) dx = f(x) + C

f(x)=2x[f(x)f(0)]+2x.

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又由题目中所给的原式可知:

f(0)=00(x2t2)f(t)dt+02=0

f(0)=0.

因此:

f(x)=2x[f(x)f(0)]+2x

f(x)=2x[f(x)0]+2x

f(x)=2xf(x)+2x

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f(x)2xf(x)=2x.

上面的式子就是一个一阶线性微分方程,根据《一阶线性微分方程的求解公式》可得:

f(x)=[2xe2xdxdx+C]e2xdx

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f(x)=[2xe2xdxdx+C]e2xdx

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f(x)=[2xex2dx+C]ex2

一般情况下,在使用公式求解一阶线性微分方程的时候,都会用到分部积分。

f(x)=[ex2d(x2)+C]ex2

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f(x)=[ex2+C]ex2

f(x)=1+Cex2.

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截止到上面这里,计算还没有结束,因为上面的式子中还存在一个待定系数 C.

又:

f(0)=0

f(0)=1+Ce02

0=1+C

C=1.

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综上可知:

f(x)=1+ex2

f(x)=ex21.


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