变限积分+微分方程：已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left( x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$ 求 $f(x)$

一、题目

已知函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数, 且满足 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $\left(x^{2} – t^{2} \right)$ $f^{\prime}(t)$ $\mathrm{d} t$ $+$ $x^{2}$, 求 $f(x)$ 的表达式。

难度评级：

二、解析

首先，对于含有变限积分的式子，一般先进行求导运算：

$$
f(x) = \int_{0}^{x} \left(x^{2} – t^{2} \right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = x^{2} \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t – \int_{0}^{x} t^{2} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x) = 2x \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + x^{2} f^{\prime}(x) – x^{2} f^{\prime}(x) + 2x \Rightarrow
$$

Next

$$
f^{\prime}(x) = 2x \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + 2x \Rightarrow
$$

这里需要注意的有两点：

1. 题目中只说了 $f(x)$ 有一阶连续的导数，因此我们只能对 $f(x)$ 做一次求导运算，不能再次进行第二次求导运算了；
2. 根据牛顿-莱布尼兹公式或者积分与导数的意义可知：$\int$ $f^{\prime}(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f(x)$ $+$ $C$

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – f(0)] + 2x.
$$

Next

又由题目中所给的原式可知：

$$
f(0) = \int_{0}^{0} \left(x^{2} – t^{2} \right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t + 0^{2} = 0 \Rightarrow
$$

$$
f(0) = 0.
$$

因此：

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – f(0)] + 2x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = 2x [f(x) – 0] + 2x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime} (x) = 2x f(x) + 2x \Rightarrow
$$

Next

$$
f^{\prime} (x) – 2x f(x) = 2x.
$$

上面的式子就是一个一阶线性微分方程，根据《一阶线性微分方程的求解公式》可得：

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{\int -2x \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C \big] e^{- \int -2x \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

Next

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{\int -2x \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C \big] e^{ \int 2x \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

Next

$$
f(x) = \big[ \int 2x e^{-x^{2}} \mathrm{d} x + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

一般情况下，在使用公式求解一阶线性微分方程的时候，都会用到分部积分。

$$
f(x) = \big[ -\int e^{-x^{2}} \mathrm{d} (-x^{2}) + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

Next

$$
f(x) = \big[ – e^{-x^{2}} + C \big] e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = – 1 + C e^{x^{2}}.
$$

Next

截止到上面这里，计算还没有结束，因为上面的式子中还存在一个待定系数 $C$.

又：

$$
f(0) = 0 \Rightarrow
$$

$$
f(0) = – 1 + C e^{0^{2}} \Rightarrow
$$

$$
0 = -1 + C \Rightarrow
$$

$$
C = 1.
$$

Next

综上可知：

$$
f(x) = – 1 + e^{x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = e^{x^{2}} – 1.
$$

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