求解 sincos 线性组合分式积分的通用解法

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,我们将讨论形如下面这样的,由三角函数 sincos 线性组合所得的分式的积分的通用解法:

csinx+dcosxasinx+bcosxdx

其中,a, b, c, d 为常数。

相关例题:

加加减减,凑凑拆拆: sinxsinx+cosx dx

二、正文 正文 - 荒原之梦

由于

csinx+dcosxasinx+bcosxdx=

A(asinx+bcosx)+B(asinx+bcosx)asinx+bcosxdx=

A1asinx+bcosxd(asinx+bcosx)+B1dx=

Aln|asinx+bcosx|+Bx+C.

其中,A, B, C 为常数。

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在实际计算的时候,a, b, c, d 都是已知的,我们要做的就是确定 AB 的值,方法如下:

A(asinx+bcosx)+B(asinx+bcosx)asinx+bcosxdx=

如上,想到可以对分母 asinx + bcosx 进行 运算以凑成原来的分子,是解决此类积分的关键一步。

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A(acosxbsinx)+B(asinx+bcosx)asinx+bcosxdx=

(bA+aB)sinx+(aA+bB)cosxasinx+bcosxdx=

csinx+dcosxasinx+bcosxdx

{bA+aB=caA+bB=d

通过上面的二元一次方程组,我们就可以确定 AB 的值,从而解出这类积分。

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其实,上面的计算方法的本质就是将不能使用公式的被积函数“凑”成可以使用公式的被积函数,对于较简单的这类被积函数,我们也可以直接“凑”,例如下面这个例题:

加加减减,凑凑拆拆: sinxsinx+cosx dx


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