求解 y + 4y + 4y = e2x 满足指定条件的特解

一、题目题目 - 荒原之梦

方程 y + 4y + 4y = e2x 满足 y(0) = 0, y(0) = 1 的特解是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

1. 求解“齐通”(齐次微分方程的通解)

首先,特征方程如下:

λ2+4λ+4=0

λ=4±16162

λ1=λ2=4±02=2.

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

于是,齐次微分方程 y + 4y + 4y = 0 对应的通解为:

y=(C1+C2x)eλx

y=(C1+C2x)e2x

2. 求解“非齐特”(非齐次微分方程的特解)

设非齐次微分方程 y + 4y + 4y = e2x 的特解为:

y=axke2x

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

又因为 λ = 2 是对应的特征方程的二重根,因此:

k=2

y=ax2e2x

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

进而有(下面的计算步骤略繁琐,一定要仔细计算):

(y)=a(2xe2x2x2e2x)

(y)=a(2xe2x2x2e2x)

(y)=a[(2e2x4xe2x)(4xe2x4x2e2x)]

(y)=a(2e2x4xe2x4xe2x+4x2e2x)

将前面得出的 式代入到 y + 4y + 4y = e2x 中:

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

a(2e2x4xe2x4xe2x+4x2e2x)+

4a(2xxe2x2x2e2x)+4ax2e2x=e2x

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

a(24x4x+4x2)+4a(2x2x2)+4ax2=1

a(28x+4x2+8x8x2+4x2)=1

2a=1

a=12.

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

因此,非齐次微分方程的特解为:

y=ax2e2x=12x2e2x

3. 求解“非齐通”(非齐次微分方程的通解)

由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知,该非齐次微分方程的通解为:

y=(C1+C2x)e2x+12x2e2x

4. 求解满足指定条件的“非齐特”

已知:

y(0)=0

y(0)=1

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

而且:

y=(C1+C2x)e2x+12x2e2x

y=C2e2x2(C1+C2x)e2x+12(2xe2x2x2e2x)

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

于是:

y(0)=0=C1+0=0

C1=0

y(0)=1=C20+0

C2=1

Next - 荒原之梦 Next Next - 荒原之梦

因此,方程 y + 4y + 4y = e2x 满足 y(0) = 0, y(0) = 1 的特解是:

y=xe2x+12x2e2x


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress