求解 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解

一、题目

方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime }(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？

难度评级：

二、解析

1. 求解“齐通”（齐次微分方程的通解）

首先，特征方程如下：

$${\lambda }^2+4\lambda +4=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{-4\pm \sqrt{16–16}}{2}\Rightarrow$$

$${\lambda }_1={\lambda }_2=\frac{-4\pm 0}{2}=-2.$$

Next

于是，齐次微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $0$ 对应的通解为：

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}\Rightarrow$$

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$$

2. 求解“非齐特”（非齐次微分方程的特解）

设非齐次微分方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 的特解为：

$$y^{\ast }=a{x}^k{e}^{-2x}$$

Next

又因为 $\lambda$ $=$ $-2$ 是对应的特征方程的二重根，因此：

$$k=2\Rightarrow$$

$$y^{\ast }=a{x}^2{e}^{-2x}\mathrm{①}$$

Next

进而有（下面的计算步骤略繁琐，一定要仔细计算）：

$$(y^{\ast }{)}^{\prime }=a(2x{e}^{-2x}–2x^2{e}^{-2x})\mathrm{②}$$

$$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }=a(2x{e}^{-2x}–2x^2{e}^{-2x}{)}^{\prime }\Rightarrow$$

$$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }=a[(2e^{-2x}–4x{e}^{-2x})–(4x{e}^{-2x}–4x^2{e}^{-2x})]\Rightarrow$$

$$(y^{\ast }{)}^{\prime \prime }=a(2e^{-2x}–4x{e}^{-2x}–4x{e}^{-2x}+4x^2{e}^{-2x})\mathrm{③}$$

将前面得出的 $\mathrm{①}$、$\mathrm{②}$、$\mathrm{③}$ 式代入到 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 中：

Next

$$a(2e^{-2x}–4x{e}^{-2x}–4x{e}^{-2x}+4x^2{e}^{-2x})+$$

$$4a(2xx{e}^{-2x}–2x^2{e}^{-2x})+4a{x}^2{e}^{-2x}=e^{-2x}\Rightarrow$$

Next

$$a(2–4x–4x+4x^2)+4a(2x–2x^2)+4a{x}^2=1\Rightarrow$$

$$a(2–8x+4x^2+8x–8x^2+4x^2)=1\Rightarrow$$

$$2a=1\Rightarrow$$

$$a=\frac{1}{2}.$$

Next

因此，非齐次微分方程的特解为：

$$y^{\ast }=a{x}^2{e}^{-2x}=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}$$

3. 求解“非齐通”（非齐次微分方程的通解）

由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知，该非齐次微分方程的通解为：

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}$$

4. 求解满足指定条件的“非齐特”

已知：

$$y(0)=0$$

$$y^{\prime }(0)=1$$

Next

而且：

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}$$

$$y^{\prime }=C_2{e}^{-2x}–2(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}(2x{e}^{-2x}–2x^2{e}^{-2x})$$

Next

于是：

$$y(0)=0=C_1+0=0\Rightarrow$$

$$C_1=0$$

$$y^{\prime }(0)=1=C_2–0+0\Rightarrow$$

$$C_2=1$$

Next

因此，方程 $y^{\prime \prime }$ $+$ $4y^{\prime }$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime }(0)$ $=$ $1$ 的特解是：

$$y=x{e}^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}$$

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