存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分: arcsinx+lnxx dx

一、题目题目 - 荒原之梦

arcsinx+lnxxdx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察可知,本题所给的被积函数是一个有理函数,而且该有理函数是由三角函数、对数函数和幂函数三种不同的函数经过加减乘除的有理运算构成的,于是:

  1. 由于分部积分可以将不容易积分的部分变成求导运算,因此,对于这种存在两类及以上不同函数的式子,我们一般可以考虑使用分部积分;
  2. 在使用分部积分时,我们要设法使三角函数、对数函数这类不容易进行积分运算的部分变成求导运算。

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因为:

(x12)=12x12=121x.

所以,有:

arcsinx+lnxxdx=

2(arcsinx+lnx)d(x)=

2arcsinxd(x)+2lnxd(x)

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分部积分

2[xarcsinxxd(arcsinx)+xlnxxd(lnx)].

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其中:

xd(arcsinx)=

x11x121xdx=

1211xdx=1x+C.

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继续:

xd(lnx)=x1xdx=

x1(x)2dx=1xdx=2x+C

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于是:

2[xarcsinxxd(arcsinx)+xlnxxd(lnx)]=

2[xarcsinx+1x+xlnx2x]=

2xarcsinx+21x+2xlnx4x+C

其中,C 为任意常数。


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