巧用三角函数凑微分,化不同为相同: cos2xcos2x(1+sin2x) dx

一、题目题目 - 荒原之梦

cos2xcos2x(1+sin2x)dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

cos2xcos2x(1+sin2x)dx=

cos2xsin2xcos2x(1+sin2x)dx=

1cos2xcos2xsin2x1+sin2xdx.

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接下来开始根据式子的特点凑微分:

又:

(tanx)=1cos2x

因此:

1cos2xcos2xsin2x1+sin2xdx=

1cos2xcos2xsin2x1+sin2xcos2xd(tanx)=

cos2xsin2x1+sin2xd(tanx)=

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接下来开始将式子中所有的三角函数都往 tanx 的形式转化(方法:分子分母同除以 cos2x):

cos2xsin2x1+sin2xd(tanx)=

1tan2x1cos2x+tan2xd(tanx)=

1tan2xsin2x+cos2xcos2x+tan2xd(tanx)=

1tan2xtan2x+1+tan2xd(tanx)=

1tan2x1+2tan2xd(tanx)

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tanx = u

1u21+2u2du=

12(1+2u2)31+2u2du=

12[1+2u21+2u2du31+2u2du]=

121du+3211+2u2du=

12u+321212+u2du=

12u+32121(12)2+u2du=

12u+32122arctan(2u)+C=

12u+322arctan(2u)+C.

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u = tanx, 则:

cos2xcos2x(1+sin2x)dx=

12tanx+322arctan(2tanx)+C.

其中,C 为常数.


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