用三角代换、几何意义和区间再现三种方法解一道定积分题目

一、题目

$${\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=?$$

本文的题目解析中提供了三种不同角度的解法。

难度评级：

二、解析

Next

方法一：三角代换

由于 $(1-x{)}^2$ $=$ $1$ $+$ $x^2$ $-$ $2x$.

因此，$1$ $-$ $(1-x{)}^2$ $=$ $1$ $-$ $1$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$ $=$ $2x$ $-$ $x^2$.

于是，可令：

$$\sin t=1–x$$

进而有：

$$x\in (0,2)\Rightarrow$$

$$\sin t\in (1-0,1-2)\Rightarrow \sin t\in (1,-1)\Rightarrow t\in (\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{2})$$

$$x=1–\sin t\Rightarrow \mathrm{d}x=–\cos t\mathrm{d}t.$$

Next

于是：

$${\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{2}x\sqrt{1–(1–x{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$$–{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}(1–\sin t){\cos }^{2}t\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}t–\sin t\cdot {\cos }^{2}t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t–{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin t\cdot {\cos }^{2}t\mathrm{d}t=$$

$$2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{d}t–0=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}.$$

Next

方法二：几何意义

$${\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^{2}x\sqrt{1–(x–1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^2[(x-1)+1]\sqrt{1–(x–1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_0^2(x-1)\sqrt{1–(x–1{)}^2}\mathrm{d}x+{\int }_0^2\sqrt{1–(x–1{)}^2}\mathrm{d}x=$$

Next

其中，$(x-1)\sqrt{1–(x–1{)}^2}$ 是关于 $x=1$ 反对称的奇函数，因此 ${\int }_0^2$ $(x-1)\sqrt{1–(x–1{)}^2}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $0$ ——关于此的详细阐述，请查看《关于非原点位置反对称的“奇函数”》这篇文章。

$${\int }_0^2\sqrt{1–(x–1{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.$$

若令 $y$ $=$ $\sqrt{1–(x–1{)}^2}$, 则可得 $(x–1{)}^2$ $+$ $y^2$ $=$ $1$——根据 圆形的标准方程 可知，这其实是一个圆心为 $(1,0)$, 半径为 $1$ 的位于 $x$ 轴上方的上半圆，该上半圆的面积为 $\frac{\pi }{2}$.

Next

方法三：区间再现

令 $t$ $=$ $2+0–x$, 即：

$$t=2-x$$

$$x=2–t$$

$$\mathrm{d}x=–\mathrm{d}t$$

$$x\in (0,2)\Rightarrow t\in (2,0)$$

Next

从而：

$${\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=$$

$${\int }_2^0(2–t)\sqrt{2(2–t)–(2–t{)}^2}(-\mathrm{d}t)=$$

$${\int }_0^2(2–t)\sqrt{2(2–t)–(2–t{)}^2}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^2(2–t)\sqrt{2t–t^2}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{2}2\sqrt{2t–t^2}\mathrm{d}t–{\int }_0^{2}t\sqrt{2t–t^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

Next

令 $t$ $=$ $x$ $\Rightarrow$

$${\int }_0^{2}2\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x–{\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^2\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x–{\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2{\int }_0^2\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=2{\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$${\int }_0^2\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x$$

Next

又根据几何意义可知，${\int }_0^2$ $\sqrt{2x–x^2}$ $\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_0^2$ $\sqrt{1–(x–1{)}^2}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $\frac{\pi }{2}$, 于是：

$${\int }_0^{2}x\sqrt{2x–x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}$$

---