已知 $y$ $=$ $x^2$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$

一、题目

已知 $y$ $=$ $x^2$ $\cos x$, 求解 $y^{(n)}$

难度评级：

二、解析

解答本题需要首先掌握高阶导数的计算公式。

已知：

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,$$

$$(x^2{)}^{\prime \prime }=2,$$

$$(x^2{)}^{\prime \prime \prime }=0.$$

Next

因此：

$y^{(n)}$ $=$ $C_n^0$ $(x^2{)}^{(0)}$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n)}$ $+$ $C_n^1$ $(x^2{)}^{(1)}$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-1)}$ $+$ $C_n^2$ $(x^2{)}^{(2)}$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $C_n^0$ $\cdot$ $x^2$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n)}$ $+$ $C_n^1$ $\cdot$ $2x$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-1)}$ $+$ $C_n^2$ $\cdot$ $2$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $1$ $\cdot$ $x^2$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n)}$ $+$ $n$ $\cdot$ $2x$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-1)}$ $+$ $\frac{n(n-1)}{2\times 1}$ $\cdot$ $2$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $x^2$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n)}$ $+$ $2xn$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-1)}$ $+$ $n(n-1)$ $\cdot$ $(\cos x{)}^{(n-2)}$ $\Rightarrow$

Next

$y^{(n)}$ $=$ $x^2$ $\cdot$ $\cos [x+(n\cdot \frac{\pi }{2})]$ $+$ $2xn$ $\cdot$ $\cos [x+(n-1)\cdot \frac{\pi }{2}]$ $+$ $n(n-1)$ $\cdot$ $\cos [x+(n-2)\cdot \frac{\pi }{2}]$.

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