无穷大量与无界变量之间的关系

一、前言

首先说结论：无穷大量必为无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。

在下文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会对此给出一个通俗的解释。同时，还会以类比的方式，给出极限存在与不存在的一种判断方法。

二、正文

根据定义，只有所有分量均为无穷大量的无界变量才是无穷大量，否则，只要有一个分量不是无穷大量，就只能算是一个无界变量。

例如，下面这个数列就是一个无界变量，而不是一个无穷变量，因为当 $n$ 为偶数时，该数列的分量不是一个无穷大量：

$$x_n=\{\begin{array}{cc}2n,& n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数},\\ 2,& n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}.\end{array}$$

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同样的，对于极限是否存在的判断，我们也有类似的标准：只有所有分量的极限都存在且相等，整体的极限才会存在。

例如，若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_{2n}$ $=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_{2n+1}$ $=$ $a$, 则可以说明：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a.$$

但如果 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_{3n}$ $=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_{3n+1}$ $=$ $a$, 则不可以说明：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a.$$

因为还可能存在分量 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $3n+2$ $\ne$ $a$.

注意：无论是对于数列，亦或是函数而言，上面的结论都是成立的。

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