函数 $f(x)$ $=$ $\frac{x}{1–e^{\frac{x}{1-x}}}$ 有无间断点并讨论间断点的类型

一、题目

下面的函数有无间断点，若有间断点，则分类讨论其间断点的类型：

$$f(x)=\frac{x}{1–e^{\frac{x}{1-x}}}$$

难度评级：

二、解析

首先，该函数是一个含有分式的函数，因此，可以从分母不能等于零的角度讨论其间断点，即：

$$1–x\ne 0\Rightarrow x\ne 1.$$

$$1–e^{\frac{x}{1-x}}\ne 0\Rightarrow x\ne 0.$$

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一、当 $x$ $=$ $1$ 时

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}(1-x)\to 0^{-}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x}{1-x}\to –\mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{e}^{\frac{x}{1-x}}\to 0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x}{1–e^{\frac{x}{1-x}}}=1.$$

Next

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}(1-x)\to 0^{+}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x}{1-x}\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}{e}^{\frac{x}{1-x}}\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x}{1–e^{\frac{x}{1-x}}}=0.$$

因此，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。

Next

二、当 $x$ $=$ $0$ 时

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{1–e^{\frac{x}{1-x}}}\Rightarrow$$

应用等价无穷小 $\Rightarrow$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{-\frac{x}{1-x}}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}(x\cdot \frac{1-x}{-x})\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}(x–1)=-1.$$

因此，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。

Next

综上可知，函数 $f(x)$ 存在两个间断点，其中，$x$ $=$ $1$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点，$x$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 的可去断点。

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