如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ $)$ 是奇函数？

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$y=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

难度评级：

二、解析

$$y(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})\Rightarrow$$

$$y(-x)=\ln (-x+\sqrt{1+x^2})\Rightarrow$$

$$y(-x)=\ln (\frac{-x+\sqrt{1+x^2}}{1})\Rightarrow$$

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分子有理化 $\Rightarrow$

$$y(-x)=\ln [\frac{\sqrt{1+x^2}–x)(\sqrt{1+x^2}+x)}{\sqrt{1+x^2}+x}]\Rightarrow$$

$$y(-x)=\ln (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x})\Rightarrow$$

$$y(-x)=\ln (\sqrt{1+x^2}+x{)}^{-1}\Rightarrow$$

$$y(-x)=–\ln (\sqrt{1+x^2}+x)\Rightarrow$$

$$y(-x)=–\ln (x+\sqrt{1+x^2}).$$

因此得证。

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