如何证明 $y$ $=$ $\ln$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $)$ 是奇函数？

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$
y = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} )
$$

难度评级：

二、解析

$$
y(x) = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} ) \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = \ln ( -x + \sqrt{1+x^{2}} ) \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = \ln \Big( \frac{-x + \sqrt{1+x^{2}}}{1} \Big) \Rightarrow
$$

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分子有理化 $\Rightarrow$

$$
y(-x) = \ln \Big[ \frac{\sqrt{1+x^{2}} – x) (\sqrt{1+x^{2}} + x)}{\sqrt{1+x^{2}} + x} \Big] \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = \ln \Big( \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}} + x} \Big) \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = \ln ( \sqrt{1+x^{2}} + x )^{-1} \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = – \ln ( \sqrt{1+x^{2}} + x ) \Rightarrow
$$

$$
y(-x) = – \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} ).
$$

因此得证。

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