高数极限小技巧：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 默认就是 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}$

一、问题描述

在做有些涉及极限的题目时，我们常常会遇到下面这样的表述：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$

但是，我们可能会产生这样的疑问：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 既不是 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}$, 也不是 $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}$, 那么，在计算含有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 的式子时该怎么计算，需要 分 类 讨 论 嘛？

二、解决方案

这里，我们先假设计算含有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ 的式子需要分类讨论，那么，例如下面这个式子：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n+1}{2^n–1}=?$$

于是，当 $n$ $\to$ $+\mathrm{\infty }$ 时，有 ：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{2}^n\to +\mathrm{\infty }$$

因 此 ：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n+1}{2^n–1}=$$

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{2^n}=1.$$

当 $n$ $\to$ $-\mathrm{\infty }$ 时，有 ：

$$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}{2}^n\to 0.$$

因 此 ：

$$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n+1}{2^n–1}=$$

$$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{0+1}{0–1}=-1.$$

根据上面的计算可知，当 $n$ $\to$ $+\mathrm{\infty }$ 和当 $n$ $\to$ $-\mathrm{\infty }$ 时，$\frac{2^n+1}{2^n–1}$ 的极限是不相等的，那么，是否可以说明，$\frac{2^n+1}{2^n–1}$ 的极限是不存在的呢？

Next

然而，$\frac{2^n+1}{2^n–1}$ 极限 肯 定 是 存 在 的。

这是因为，当题目中只给出了 $n$ $\to$ $\mathrm{\infty }$, 而未说明是 $n$ 是趋于正无穷还是负无穷时，我们直接默认是 $n$ $\to$ $+\mathrm{\infty }$ 就可以了，即 ：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}$$

因此，对于前面的题目而言，应 有 ：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n+1}{2^n–1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{2^n}=\frac{1}{1}=1.$$

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