极值存在的充分条件:判断是否为极值点(B013)

问题

若已知函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数,且 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$; $A$ $=$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $B$ $=$ $f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0} \right.$, $\left.y_{0} \right)$, $C$ $=$ $f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$.

则以下哪个选项可以说明点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 为函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 的一个极值点?

选项

[A].   $A B$ $-$ $C^{2}$ $=$ $0$

[B].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $=$ $0$

[C].   $B C$ $-$ $A^{2}$ $<$ $0$

[D].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $<$ $0$

[E].   $A B$ $-$ $C^{2}$ $>$ $0$

[F].   $A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$


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$A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ 点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 是极值点.

$A C$ $-$ $B^{2}$ $<$ $0$ $\Rightarrow$ 点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 不是极值点.

$A C$ $-$ $B^{2}$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 不确定点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 是否是极值点.


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