问题
若已知函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数,且 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$ $=$ $0$; $A$ $=$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $B$ $=$ $f_{x y}^{\prime \prime}\left(x_{0} \right.$, $\left.y_{0} \right)$, $C$ $=$ $f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0} \right)$.则以下哪个选项可以说明点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 为函数 $z$ $=$ $f(x, y)$ 的一个极值点？
选项
[A]. $A B$ $-$ $C^{2}$ $>$ $0$[B]. $A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$
[C]. $A B$ $-$ $C^{2}$ $=$ $0$
[D]. $A C$ $-$ $B^{2}$ $=$ $0$
[E]. $B C$ $-$ $A^{2}$ $<$ $0$
[F]. $A C$ $-$ $B^{2}$ $<$ $0$
$A C$ $-$ $B^{2}$ $>$ $0$ $\Rightarrow$ 点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 是极值点.
$A C$ $-$ $B^{2}$ $<$ $0$ $\Rightarrow$ 点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 不是极值点.
$A C$ $-$ $B^{2}$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 不确定点 $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ 是否是极值点.