微分中的 $\mathrm{d}$ 和 $\mathrm{\Delta }$ 分别表示什么意思？[图解]

如上图所示，红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^2$ 的图像，绿色直线表示该函数在点 $(i,j)$ 处的切线。 蓝色横线表示 $\mathrm{\Delta }x$ 和 $\mathrm{d}x$, 且 $\mathrm{\Delta }x$ $=$ $\mathrm{d}x$, 紫色竖线表示 $\mathrm{d}y$, 橙色竖线表示 $\mathrm{\Delta }y$.

在高等数学中，符号 $\mathrm{d}$ 一般表示的是微分，所谓“微分”就是一个函数的局部线性近似——如图 01 中所示，当自变量 $x$ 发生 $\mathrm{\Delta }x$ 大小的变化时，自变量 $x$ 的微分 $\mathrm{d}x$ 与变化量 $\mathrm{\Delta }x$ 是相等的，即 $\mathrm{d}x$ $=$ $\mathrm{\Delta }x$. 但是，从图中我们可以很明显的看出，与之对应的因变量 $y$ 的微分 $\mathrm{d}y$ 和因变量 $y$ 实际的变化量 $\mathrm{\Delta }y$ 并不相等。不过，由于我们并不能很容易的求出 $\mathrm{\Delta }y$ 是多少，却可以很容易计算出 $\mathrm{d}y$ 是多少，而且，当 $x$ $\to$ $0$ 时，可以认为 $\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{\Delta }y$ 是相等的，于是：

如果设点 $(i,j)$ 处的斜率为 $k$, 在 $x$ $\to$ $0$ 时，有：

$$k=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$k=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}.$$

此外，还有以下两点需要注意：

1. 在单自变量的函数中，我们一般使用 $\mathrm{d}$ 表示微分，但在包含两个及两个以上自变量的多自变量函数中，我们则使用 $\partial$ 表示一个多自变量函数针对某个特定变量的偏微分；
2. 虽然在图 01 所表达的视觉效果中，$\mathrm{d}y$ $<$ $\mathrm{\Delta }y$, 但在不同函数的不同位置，也存在 $\mathrm{d}y$ $>$ $\mathrm{\Delta }y$ 或者 $\mathrm{d}y$ $=$ $\mathrm{\Delta }y$ 的情况。