标签： 高等数学练习题

一、题目

已知 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并满足 $g(\frac{a+b}{2}+x)$ $=$ $-g(\frac{a+b}{2}-x)$ $(\mathrm{\forall }x\in [0,\frac{b-a}{2}])$, ${\int }_0^{\frac{b–a}{2}}g(\frac{a+b}{2}+t)\mathrm{d}t$ $=$ $A$, 则 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑”

一、题目

$$I={\int }_0^{100\pi }\sqrt{1+\cos 2x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

继续阅读“一个夸张的积分上限：肯定有规律可循”

一、题目

已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)={\int }_0^{x}f(t)f^{\prime }(2a-t)\mathrm{d}t$, 则 $F(2a)-2F(a)=?$

$$(A)2$$

$$(B)0$$

$$(C)1$$

$$(D)-1$$

难度评级：

继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)\cos x\mathrm{d}x=A$, 则 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x\cos x)x\sin x\mathrm{d}x=?$

$$(A)0$$

$$(B)A$$

$$(C)-A$$

$$(D)2A$$

难度评级：

继续阅读“解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题”

一、题目

已知函数 $g(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 连续，若令：

$$F(x)={\int }_1^x[g(t^2+\frac{x^2}{t^2})-g(t+\frac{x^2}{t})]\frac{\mathrm{d}t}{t}$$

则 $F(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上为：

$$(A)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{升}$$

$$(B)\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{降}$$

$$(C)\mathrm{常}\mathrm{数}$$

难度评级：

继续阅读“处理变限积分问题时除了可以尝试求导运算，还可以尝试积分运算”

一、题目

已知 $f(x)$ 为已知的连续函数, $t>0,s>0$ 均与积分变量 $x$ 无关, 则积分 ${\int }_0^{\frac{s}{t}}tf\left(\frac{t}{s}x\right)\mathrm{d}x$ 的值与 $t$ 和 $s$ 都有关吗？

难度评级：

继续阅读“与积分变量无关的变量都视作常数处理”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续，且 $a>0$, $g(x)={\int }_{-a}^a|x-t|f(t)\mathrm{d}t$, 则在 $[-a,a]$ 上是偶函数还是奇函数？

难度评级：

继续阅读“在一重积分中：只有积分变量可以被当作变量处理，其他“变量”都要视作常数”

一、题目

已知 $f(u)$ 为连续的偶函数，$a$ 是常数，则以下式子的奇偶性如何：

第 1 个式子：

$${\int }_0^x[{\int }_a^{u}tf(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u$$

第 2 个式子：

$${\int }_0^x[{\int }_a^{u}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u$$

第 3 个式子：

$${\int }_a^x[{\int }_0^{u}tf(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u$$

第 4 个式子：

$${\int }_a^x[{\int }_0^{u}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u$$

难度评级：

继续阅读“通过嵌套变限积分判断式子整体的奇偶性”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$ $=$ $1$, $F(t)$ $=$ ${\int }_1^t[f(y){\int }_y^{t}f(x)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y$, 则 $F^{\prime }(2)=?$

注意：本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算，并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。

难度评级：

继续阅读“嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量”

一、题目

设 $F(x)$ $=$ ${\int }_0^x(x-2t)f(x-t)\mathrm{d}t,f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(x)$ $<$ $0$. 则可以得出关于函数 $F(x)$ 的极值和凹凸性上的哪些结论？

难度评级：

继续阅读“不是所有一阶导等于零的点都是极值点：也可能是拐点（函数凹凸性发生改变的点）”

一、题目

令 $x={\mathrm{e}}^t$, 则，方程 $a{x}^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+bx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+cy=0$ 可以转换为什么？

难度评级：

继续阅读“复合函数二阶导的题目：明确谁是谁的函数，谁是真自变量，谁是中间变量”

一、题目

已知 $F(x)={\int }_0^x\left({\int }_0^{y^2}\frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}y$, 则 $F^{\prime \prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“二重嵌套变限积分的求导：积分时由内向外进行，求导时由外向内进行”

一、题目

已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x-y={\int }_1^{x+y}{\sin }^{2}t\mathrm{d}t$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=?$

难度评级：

继续阅读“当变限积分中出现自变量和它的函数时，仍然按照一般的变限积分求导方法计算即可”

一、题目

已知：

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^x=3t^2+2\pi t+1,\\ t\sin y=y-\frac{\pi }{2},\end{array}$$

其中，$t⩾0$.

则 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“参数方程求导：在一个等式的两个变量中，任意一个变量都可以看作另一个变量的函数”

一、题目

已知函数 $y$ $=$ ${\int }_0^{2x}{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t$ $+$ $1$, 则其反函数 $x=\phi (y)$ 的导数 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$ $=$ $?$

难度评级：

继续阅读“反函数的导数等于其原函数导数的倒数”