易错题归档 - 荒原之梦

构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量

已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$ , 请证明：

$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} > \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}}$

难度评级：

已知，对于函数 $f (x)$ , 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f^{''} (a)$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f^{'} (a) \neq 0$ , 则：

$\begin{aligned} I = \\ lim_{x \to a} [\frac{1}{f (x) - f (a)} - \frac{1}{f^{'} (a) (x - a)}] = ? \end{aligned}$

难度评级：

已知，函数 $f (x)$ 连续， $f (0)$ $=$ $0$ , $f^{'} (0)$ $=$ $0$ , $f^{''} (0)$ $\neq$ $0$ , 则：

$I = lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} t f (x - t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t} = ?$

Note

关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com

难度评级：

已知，函数 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：

方程 $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[a, a + 1]$ 上都至少有一个实根。

难度评级：

$I = lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + x + 1}{\sqrt{x^{2} + \sin x}} = ?$

难度评级：

已知 $u_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + i}}$ , 则：

$lim_{n \to \infty} u_{n} = ?$

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已知，当 $x \to x_{0}$ 时, $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为 $(x - x_{0})$ 的同阶无穷小, 则下列说法正确的是哪一个？

(A) $f (x)$ $-$ $g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的同阶无穷小

(B) $f (x)$ $-$ $g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的高阶无穷小

(D) $f (x) \cdot g (x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_{0}$ 的高阶无穷小

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